3. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ СРЕДНИХ
Используется для проверки предложения о том, что среднее значения двух показателей, представленных выборками, значимо различаются. Существует три разновидности критерия: один – для связанных выборок, и два для несвязных выборок (с одинаковыми и разными дисперсиями). Если выборки не связны, то предварительно нужно проверить гипотезу о равенстве дисперсий, чтобы определить, какой из критериев использовать. Так же как и в случае сравнения дисперсий имеются 2 способа решения задачи, которые рассмотрим на примере.
ПРИМЕР 3. имеются данные о количестве продаж товара в двух городах. Проверить на уровне значимости 0,01 статистическую гипотезу о том, что среднее число продаж товара в городах различно.
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
Используем пакет «Анализ данных». В зависимости от типа критерия выбирается один из трех: «Парный двухвыборочный t-тест для средних» - для связных выборок, и «Двухвыборочных t-тест с одинаковыми дисперсиями» или «Двухвыборочных t-тест с разными дисперсиями» - для несвязных выборок. Вызовите тест с одинаковыми дисперсиями, в открывшемся окне в полях «Интервал переменной 1» и «Интервал переменной 2» вводят ссылки на данные (А1-N1 и А2-L2, соответственно), если имеются подписи данных, то ставят флажок у надписи «Метки» (у нас их нет, поэтому флажок не ставится). Далее вводят уровень значимости в поле «Альфа» - 0,01. Поле «Гипотетическая средняя разность» оставляют пустыми. В разделе «Параметры вывода» ставят метку около «Выходной интервал» и поместив курсор в появившемся поле напротив надписи, щелкают левой кнопкой в ячейке В7. вывод результата будет осуществляться начиная с этой ячейки. Нажав на «ОК» появляется таблица результата. Сдвиньте границу между столбцами В и С, С и D, D и Е увеличив ширину столбцов В, С и D так, чтобы умещались все надписи. Процедура выводит основные характеристики выборки, t-статистику, критические значения этих статистик и критические уровни значимости «Р(Т<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями |
||
| Среднее | 23,57142857 | 26,41666667 |
| Дисперсия | 17,34065934 | 15,35606061 |
| Наблюдения | 14 | 12 |
| Объединенная дисперсия | 16,43105159 | |
| Гипотетическая разность средних | 0 | |
| df | 24 | |
| t-статистика | -1,784242592 | |
| P(T<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t критическое одностороннее | 2,492159469 | |
| P(T<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t критическое двухстороннее | 2,796939498 | |
Лабораторная работа №3
ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: Освоить методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научиться получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.
Рассмотрим методику построения регрессионного уравнения на примере.
ПРИМЕР. Даны выборки факторов х i и у i . По этим выборкам найти уравнение линейной регрессии ỹ = ах + b. Найти коэффициент парной корреляции. Проверить на уровне значимости а = 0,05 регрессионную модель на адекватность.
| Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
Для нахождения коэффициентов a и b уравнения регрессии служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК, категории «Статистические». Вводим в А5 подпись «а=» а в соседнюю ячейку В5 вводим функцию НАКЛОН, ставим курсор в поле «Изв_знач_у» задаем ссылку на ячейки В2-K2, обводя их мышью. Результат 0,14303. Найдем теперь коэффициент b. Вводим в А6 подпись «b=», а в В6 функцию ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и функции НАКЛОН. Результат 5,976364. следовательно, уравнение линейной регрессии есть у=0,14303х+5,976364.
Построим график уравнения регрессии. Для этого в третью строчку таблицы введем значения функции в заданных точках Х (первая строка) – у(х 1). Для получения этих значений используются функция ТЕНДЕНЦИЯ категории «Статистические». Вводим в А3 подпись «Y(X) и, поместив курсор в В3, вызываем функцию ТЕНДЕНЦИЯ. В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. в поле «Нов_знач_х» вводим также ссылку на В1-K1. в поле «Константа» вводят 1, если уравнение регрессии имеет вид y=ax+b, и 0, если у=ах. В нашем случае вводим единицу. Функция ТЕНДЕНЦИЯ является массивом, поэтому для вывода всех ее значений выделяем область В3-K3 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – значения уравнения регрессии в заданных точках. Строим график. Ставим курсор в любую свободную клетку, вызываем мастер диаграмм, выбираем категорию «Точеная», вид графика – линия без точек (в нижнем правом углу), нажимаем «Далее», в поле «Диагноз» вводим ссылку на В3-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Значения Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – прямая линия регрессии. Посмотрим, как различаются графики опытных данных и уравнения регрессии. Для этого ставим курсор в любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм, категория «График», вид графика – ломанная линия с точками (вторая сверху левая), нажимаем «Далее», в поле «Диапазон» вводим ссылку на вторую и третью строки В2-K3. переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» вводим ссылку на В1-K1, нажимаем «Готово». Результат – две линии (Синяя – исходные, красная – уравнение регрессии). Видно, что линии мало различаются между собой.
| а= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
Для вычисления коэффициента корреляции r xy служит функция ПИРСОН. Размещаем график так, чтобы они располагались выше 25 строки, и в А25 делаем подпись «Корреляция», в В25 вызываем функцию ПИРСОН, в полях которой «Массив 2» вводим ссылку на исходные данные В1-K1 и В2-K2. результат 0,993821. коэффициент детерминации R xy – это квадрат коэффициента корреляции r xy . В А26 делаем подпись «Детерминация», а в В26 – формулу «=В25*В25». Результат 0,265207.
Однако, в Excel существует одна функция, которая рассчитывает все основные характеристики линейной регрессии. Это функция ЛИНЕЙН. Ставим курсор в В28 и вызываем функцию ЛИНЕЙН, категории «Статистические». В полях «Изв_знач_у» и «Изв_знач_х» даем ссылку на В2-K2 и В1-K1. поле «Константа» имеет тот же смысл, что и функции ТЕНДЕНЦИЯ, у нас она равна 1. поле «Стат» должно содержать 1, если нужно вывести полную статистику о регрессии. В нашем случае ставим туда единицу. Функция возвращает массив размеров 2 столбца и 5 строк. После ввода выделяем мышью ячейку В28-С32 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – таблица значений, числа в которой имеют следующий смысл:
Коэффициент а | Коэффициент b |
| Стандартная ошибка m o | Стандартная ошибка m h |
| Коэффициент детерминации R xy | Среднеквадратическое отклонение у |
| F – статистика | Степени свободы n-2 |
| Регрессионная сумма квадратов S n 2 | Остаточная сумма квадратов S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
Анализ результата: в первой строчке – коэффициенты уравнения регрессии, сравните их с рассчитанными функциями НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Вторая строчка – стандартные ошибки коэффициентов. Если одна из них по модулю больше, чем сам коэффициент, то коэффициент считается нулевым. Коэффициент детерминации характеризует качество связи между факторами. Полученное значение 0,070335 говорит об очень хорошей связи факторов, F – статистика проверяет гипотезу о адекватности регрессионной модели. Данное число нужно сравнить с критическим значением, для его получения вводим в Е33 подпись «F-критическое», а в F33 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х) и «8» (степени свободы).
| F-критическое | 5,317655 |
Видно, что F-статистика меньше, чем F-критическое, значит, регрессионная модель не адекватна. В последней строке приведены регрессионная сумма квадратов 
и остаточные суммы квадратов . Важно, чтобы регрессионная сумма (объясненная регрессией) была намного больше остаточной (не объясненная регрессией, вызванная случайными факторами). В нашем случае это условие не выполняется, что говорит о плохой регрессии.
Вывод: В ходе работы я освоил методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научился получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.
Лабораторная работа № 4
НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: освоить методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научиться получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.
Рассмотрим случай, когда нелинейные модели с помощью преобразования данных можно свести к линейным (внутренне линейные модели).
ПРИМЕР. Построить уравнение регрессии у = f(х) для выборки х п у п (f = 1,2,…,10). В качестве f(х) рассмотреть четыре типа функций – линейная, степенная, показательная и гиперболу:
у = Ах + В; у = Ах В; у = Ае Вх; у = А/х + В.
Необходимо найти их коэффициенты А и В, и сравнив показатели качества, выбрать функцию, которая наилучшим образом описывает зависимость.
| Прибыль Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| Прибыль X | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
Введем данные в таблицу вместе с подписями (ячейки A1-K2). Оставим свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделим первые пять строк, проведя по левой серой границе по числам от 1 до 5 и выбрать какой-либо цвет (светлый – желтый или розовый) раскрасить фон ячеек. Далее, начиная с A6, выводим параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку A6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку B6 вводим функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_x» даем ссылку на B2-K2 и B1-K1, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблица с параметрами регрессии, из которых наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R 1 = 0,951262. Значение F-критерия, позволяющего проверить адекватность модели F 1 = 156,1439
(четвертая строка, первый столбец). Уравнение регрессии равно
y = 12,96 x +6,18 (коэффициенты a и b приведены в ячейках B6 и C6).
| Линейная | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
Определим аналогичные характеристики для других регрессий и в результате сравнения коэффициентов детерминации найдем лучшую регрессионную модель. Рассмотрим гиперболическую регрессию. Для ее получения преобразуем данные. В третьей строке в ячейку A3 введем подпись «1/x» а в ячейку B3 введем формулу «=1/B2». Растянем автозаполнением данную ячейку на область B3-K3. Получим характеристики регрессионной модели. В ячейку А12 введем подпись «Гипербола», а в соседнюю функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_y» и «Изв_знач_x2 даем ссылку на B1-K1 и преобразованные данные аргумента x – B3-K3, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу параметров регрессии. Коэффициент детерминации в данном случае равен R 2 = 0,475661, что намного хуже, чем в случае линейной регрессии. F-статистика равна F 2 = 7,257293. Уравнение регрессии равно y = -6,25453x 18,96772 .
| Гипербола | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
Рассмотрим экспоненциальную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение , где ỹ = ln y, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y. Ставим курсор в ячейку А4 и делаем заголовок «ln y». Ставим курсор в В4 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В1. Автозаполнением распространяем формулу на четвертую строку на ячейки В4-K4. Далее в ячейке F6 задаем подпись «Экспонента» и в соседней G6 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4-K4 (в поле «Изв_знач_ y»), а остальные поля такие же как и для случая линейной регрессии (B2-K2, 1, 1). Далее обводим ячейки G6-H10 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304, что говорит об очень хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J6 и делаем заголовок «а=», а в соседней К6 формулу «=ЕХР(Н6)», в J7 даем заголовок «b=», а в К7 формулу «=G6». Уравнение регрессии есть y = 0,511707· e 6,197909 x .
| Экспонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
Рассмотрим степенную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение ỹ = ã, где ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на ln y и x заменить на ln x. Строчка с ln y у нас уже есть. Преобразуем переменные х. В ячейку А5 даем подпись «ln x», а в В5 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В2. Автозаполнением распространяем формулу на пятую строку на ячейки B5-K5. Далее в ячейке F12 задаем подпись «Степенная» и в соседней G12 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные B4-K4 (в поле «Изв_знач_у»), и B5-K5 (в поле «Изв_знач_х»), остальные поля – единицы. Далее освободим ячейки G12-H16 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117, что говорит об хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã; ставим курсор в J12 и делаем заголовок «а=», а в соседней К12 формулу «=ЕХР(Н12)», в J13 даем заголовок «b=», а в К13 формулу «=G12». Уравнение регрессии есть у = 4,90767/х+ 7,341268.
| Степенная | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
Проверим, все ли уравнения адекватно описывают данные. Для этого нужно сравнить F-статистики каждого критерия с критическим значением. Для его получения вводим в А21 подпись «F-критическое», а в В21 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х в строке «Уровень значимости 1») и «8» (степень свободы 2 = n – 2). Результат 5,317655. F – критическое больше F – статистики значит модель адекватна. Также адекватны и остальные регрессии. Для того, чтобы определить, какая модель наилучшим образом описывает данные, сравним индексы детерминации для каждой модели R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Наибольшим является R 4 = 0,997716. Значит опытные данные лучше описывать у = 4,90767/х+ 7,341268.
Вывод: В ходе работы я освоил методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научился получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| Линейная | 12,96 | -6,18 | Экспонента | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| Гипербола | -6,25453 | 18,96772 | Степенная | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - критическое | 5,317655 | |||||||||
Лабораторная работа № 5
ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.
ХОД РАБОТЫ:
Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры у i от количества внесенных в почву минеральных удобрений х i . Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида ỹ = ах 2 + bx + c.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Введем эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1-K2. Построим график. Для этого обведем данные Y (ячейки В2-K2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-K2, нажимаем «Готово». График можно приблизить полиномом 2 степени у = ах 2 + bх + с. Для нахождения коэффициентов a, b, c нужно решить систему уравнений:
Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «Х^2», а в В3 вводим формулу «= В1*В1» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В3-K3. В ячейку А4 вводим подпись «Х^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В4-K4. В ячейку А5 вводим «Х^4», а в В5 формулу «=В4*В1», автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «Х*Y», а в В8 формулу «=В2*В1», автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «Х^2*Y», а в В9 формулу «=В3*В2», автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец L, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку L1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком ∑, вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки L1-710.
Решаем теперь систему уравнений. Для этого вводим основную матрицу системы. В ячейку А13 вводим подпись «А=», а в ячейки матрицы В13-D15 вводим ссылки, отраженные в таблице
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Вводим также правые части системы уравнений. В G13 вводим подпись «В=», а в Н13-Н15 вводим, соответственно ссылки на ячейки «=L7», «=L6», «=L2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно А -1 В. Находим обратную матрицу. Для этого в ячейку J13 вводим подпись «А обр.» и, поставив курсор в K13 задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки В13:D15. Результатом также должна быть матрица размером 4×4. Для ее получения обводим ячейки K13-М15 мышью, выделяя их и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – матрица А -1 . Найдем теперь произведение этой матрицы на столбец В (ячейки Н13-Н15). Вводим в ячейку А18 подпись «Коэффициенты» и в В18 задаем функцию МУМНОЖ (категория «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу А -1 (ячейки K13-М15), а в поле «Массив 2» даем ссылку на столбец В (ячейки Н13-Н16). Далее выделяем В18-В20 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив – коэффициенты уравнения регрессии a, b, c. В результате получаем уравнение регрессии вида: у = 1,201082х 2 – 5,619177х + 78,48095.
Построим графики исходных данных и полученных на основе уравнения регрессии. Для этого в ячейку А8 вводим подпись «Регрессия» и в В8 вводим формулу «=$В$18*В3+$В$19*В1+$В$20». Автозаполнением переносим формулу в ячейки В8-K8. Для построения графика выделяем ячейки В8-K8 и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2-М2. Вызываем мастера диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что кривые почти совпадают.
ВЫВОД: в процессе работы я по опытным данным научился строить уравнение регрессии вида у = ах 2 + bх + с.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Регресс. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Обр. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Коэффиц. | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г. Лекция 6. Сравнение двух выборок 6-1. Гипотеза о равенстве средних. Парные выборки 6-2.Доверительный интервал для разности средних. Парные выборки 6-3. Гипотеза о равенстве дисперсий 6-4. Гипотеза о равенстве долей 6-5. Доверительный интервал для разности долей
2 Иванов О.В., 2005 В этой лекции… В предыдущей лекции мы проверяли гипотезу о равенстве средних двух генеральных совокупностей и построили доверительный интервал для разности средних для случая независимых выборок. Теперь мы рассмотрим критерий проверки гипотезы о равенстве средних и построим доверительный интервал для разности средних в случае парных (зависимых) выборок. Затем в секции 6-3 будет проверяться гипотеза о равенстве дисперсий, в секции 6-4 – гипотеза о равенстве долей. В заключение мы построим доверительный интервал для разности долей.
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве средних. Парные выборки Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример
4 Иванов О.В., 2005 Парные выборки. Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух генеральных совокупностей. Выборки являются парными (зависимыми). 2. Обе выборки имеют объем n 30. Если нет, то обе выборки взяты из нормально распределенных генеральных совокупностей. Что мы хотим Проверить гипотезу о разности средних двух генеральных совокупностей:
5 Иванов О.В., 2005 Статистика для парных выборок Для проверки гипотезы используется статистика: где - разность между двумя значениями в одной паре - генеральное среднее для парных разностей - выборочное среднее для парных разностей - стандартное отклонение разностей для выборки - число пар
6 Иванов О.В., 2005 Пример. Тренинг студентов Группа из 15 студентов прошла тест до тренинга и после. Результаты теста в таблице. Проверим гипотезу для парных выборок на отсутствие влияния тренинга на подготовку студентов на уровне значимости 0,05. Решение. Подсчитаем разности и их квадраты. СтудентДоПосле Σ= 21 Σ= 145
7 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для df = 15 – 1=14 находим критическое значение t = 2,145 и записываем критическую область: t > 2,145. 2,145."> 2,145."> 2,145." title="7 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для df = 15 – 1=14 находим критическое значение t = 2,145 и записываем критическую область: t > 2,145."> title="7 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для df = 15 – 1=14 находим критическое значение t = 2,145 и записываем критическую область: t > 2,145.">
9 Иванов О.В., 2005 Решение Статистика принимает значение: Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью. 1,889
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Доверительный интервал для разности средних. Парные выборки Постановка задачи Метод построения доверительного интервала Пример
11 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем Имеем две случайные парные (зависимые) выборки объема n из двух генеральных совокупностей. Генеральные совокупности имеют нормальный закон распределения с параметрами 1, 1 и 2, 2 либо объемы обеих выборок 30. Что мы хотим Оценить среднее значение парных разностей для двух генеральных совокупностей. Для этого построить доверительный интервал для среднего в виде:
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве дисперсий Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример
15 Иванов О.В., 2005 В ходе исследования… Исследователю может понадобиться проверить предположение, о равенстве дисперсий двух изучаемых генеральных совокупностей. В случае, когда эти генеральные совокупности имеют нормальное распределение, для этого существует F-критерий, называемый также критерием Фишера. В отличие от Стьюдента, Фишер не работал на пивном заводе.
16 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух нормально распределенных генеральных совокупностей. 2. Выборки являются независимыми. Это значит, что между субъектами выборок нет связи. Что мы хотим Проверить гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей:
23 Иванов О.В., 2005 Пример Исследователь-медик хочет проверить, есть ли различие между частотой биения сердца курящих и некурящих пациентов (кол-во ударов в минуту). Результаты двух случайно отобранных групп приведены ниже. Используя α = 0,05, выясните, прав ли медик. КурящиеНе курящие
24 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице для количества степеней свободы числителя 25 и знаменателя 17 находим критическое значение f = 2,19 и критическую область: f > 2,19. Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики:
2,19. Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики:">
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Гипотеза о равенстве долей Постановка проблемы Гипотезы и статистика Последовательность действий Пример
27 Иванов О.В., 2005 Вопрос Из 100 случайно отобранных студентов социологического факультета 43 посещают спецкурсы. Из 200 случайно отобранных студентов-экономистов 90 посещают спецкурсы. Отличается ли доля студентов, посещающих спецкурсы, на социологическом и экономическом факультетах? Похоже, что существенно не отличается. Как это проверить? Доля посещающих спецкурсы – доля признака. 43 – количество «успехов». 43/100 – доля успехов. Терминология такая же, как в схеме Бернулли.
28 Иванов О.В., 2005 Описание проблемы Что мы имеем 1. Две простые случайные выборки, полученные из двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Выборки являются независимыми. 2. Для выборок выполнено np 5 и nq 5. Это означает, что, по крайней мере, 5 элементов выборки имеют изучаемое значение признака, и, по крайней мере, 5 не имеют. Что мы хотим Проверить гипотезу о равенстве долей признака в двух генеральных совокупностях:
31 Иванов О.В., 2005 Пример. Спецкурсы двух факультетов Из 100 случайно отобранных студентов социологического факультета 43 посещают спецкурсы. Из 200 студентов-экономистов 90 человек посещают спецкурсы. На уровне значимости = 0,05, проверьте гипотезу о том, что нет различия между долей посещающих спецкурсы на двух этих факультетах.
33 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы: Шаг 2. Задан уровень значимости =0,05. Шаг 3. По таблице нормального распределения находим критические значения z = – 1,96 и z = 1,96 строим критическую область: z 1,96. Шаг 4. По выборке вычисляем значение статистики.
34 Иванов О.В., 2005 Решение Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью. Полученное значение статистики не попало в критическую область. Шаг 6. Формулируем вывод. Нет оснований отвергнуть основную гипотезу. Доля посещающих спецкурсы не отличается статистически значимо.
5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г.5 ноября 2012 г Доверительный интервал для разности долей Постановка задачи Метод построения доверительного интервала Пример
Рассмотрим две независимые выборки x 1, x 2 , ….. , x n и y 1 , y 2 , … , y n , извлеченные из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями , причем объемы выборок соответственно n и m, а средние μ x , μ y и дисперсия σ 2 неизвестны. Требуется проверить основную гипотезу Н 0: μ x =μ y при конкурирующей Н 1: μ x μ y .
Как известно, выборочные средние и будут обладать свойствами: ~N(μ x , σ 2 /n), ~N(μ y , σ 2 /m).
Их разность - нормальная величина со средним 
и дисперсией , так что
~ 
(23).
Допустим на время, что основная гипотеза Н 0 верна: μ x –μ y =0. Тогда 
и, деля величину на ее стандартное отклонение, получим стандартную нормальную сл. Величину 
~N(0,1).
Раньше отмечалось, что сл. величина 
распределена по закону с (n-1)-ой степенью свободы, a 
- по закону с (m-1) степенью свободы. С учетом независимости этих двух сумм, получаем, что их общая сумма 
распределена по закону с n+m-2 степенями свободы.
Вспоминая п.7, видим, что дробь 
подчиняется t-распределенню (Стьюдента) с ν=m+n-2 степенями свободы: Z=t. Этот факт имеет место только тогда, когда истинна гипотеза Н 0 .
Заменяя ξ и Q их выражениями, получим развернутую форнулу для Z:
(24)
Сл.величина Z, называемая статистикой критерия, позволяет принять решение при такой последовательности действий:
1. Устанавливается область D=[-t β,ν , +t β,ν ], содержащая β=1–α площади под кривой t ν –распределения (табл.10).
2. Вычисляется по формуле (24) опытное значение Z on статистики Z, для чего вместо X 1 и Y 1 подставляются значения x 1 и y 1 конкретных выборок, а также их выборочные средние и .
3. Если Z on D, то гипотеза Н 0 считается не противоречащей опытным данным и принимается.
Если Z on D, то принимается гипотеза Н 1 .
Если гипотеза Н 0 верна, то Z подчиняется известному t ν –распределению с нулевым средним и с высокой вероятностью β=1–α попадает в D-область принятия гипотезы Н 0 . Когда наблюдаемое, опытное значение Z on попадает в D. Мы рассматриваем это как свидетельство в пользу гипотезы Н 0 .
Когда жe Z 0 n лежит за пределами D (как говорят, лежит в критической области К), что естественно, если верна гипотеза Н 1 , но маловероятно, если верна Н 0 , то нам остается отклонить гипотезу Н 0 , приняв H 1 .
Пример 31.
Сравниваются две марки бензина: А и В. На 11 автомашинах одинаковой мощности по кольцевому шассе испытан по разу Бензин марки А и В. Одна машина в пути вышла из строя н для нее данные по бензину В отсутствуют.
Расход бензина в пересчете на 100 км пути
Таблица 12
| i | ||||||||||||
| X i | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| У i | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
Дисперсия расхода бензина марок А и В неизвестна и предполагается одинаковой. Можно ли при уровне значимости α=0,05 принять гипотезу о том, что истинные средние расходы μ А и μ В этих видов бензина одинаковы?
Решение. Проверку гипотезы Н 0: μ А -μ В =0 при конкурирующей. Н 1:μ 1 μ 2 делаем по пунктам:
1. Находим выборочные средние и сумму квадратов отклонений Q.
;
;
2. Вычисляем опытное значение статистики Z
3. Находим из таблицы 10 t-распределения предел t β,ν , для числа степеней свободы ν=m+n–2=19 и β=1–α=0.95. В таблице 10 есть t 0.95.20 =2,09 и t 0.95.15 =2,13, но нет t 0.95.19 . Находим интерполяцией t 0.95.19 =2,09+ =2,10.
4. Проверяем, в какой из двух областей D или К лежит число Z on . Zon=-2,7 D=[-2,10; -2,10].
Поскольку наблюденное значение Z on лежит в критической области, К=R\D, то отбрасываем. Н 0 и приникаем гипотезу Н 1 . В этом случае про и говорят, что их разность значима. Если бы при всех условиях этого примера изменилось бы лишь Q, скажем, Q вдвое возросло, то изменился бы и наш вывод. Увеличение Q вдвое привело бы к уменьшению в раза величины Z on и тогда число Zon попало бы в допустимую область D, так что гипотеза H 0 выдержала бы проверку и была принята. В этом случае расхождение между и объяснялось бы естественным разбросом данных, а не тем, что μ А μ В.
Теория проверки гипотез весьма обширна, гипотезы могут быть о виде закона распределения, об однородности выборок, о независимости сл.величины и т.д.
КРИТЕРИЙ c 2 (ПИРСОНА)
Самый распространенный на практике критерий проверки простой гипотезы. Применяется, когда закон распределения неизвестен. Рассмотрим случайную величину X, над которой проведено n независимых испытаний. Получена реализация x 1 , x 2 ,...,x n . Необходимо проверить гипотезу о законе распределения этой случайной величины.
Рассмотрим случай простой гипотезы. Простая гипотеза проверяет согласование выборки с генеральной совокупностью, имеющей нормальное распределение (известное). По выборкам строим вариационный ряд x (1) , x (2) , ..., x (n) . Интервал разбиваем на подинтервалы. Пусть этих интервалов r. Тогда найдем вероятность попадания X в результате испытания в интервал Di, i=1 ,..., r в случае истинности проверяемой гипотезы.
Критерий проверяет не истинность плотности вероятности, а истинность чисел
С каждым интервалом Di свяжем случайное событие A i - попадание в этот интервал (попадание в результате испытания над X ее результата реализации в Di). Введем случайные величины. m i - количество испытаний из n проведенных, в которых произошло событие A i . m i распределены по биномиальному закону и в случае истинности гипотезы
Dm i =np i (1-p i)
Критерий c 2 имеет вид 
p 1 +p 2 +...+p r =1
m 1 +m 2 +...+m r =n
Если проверяемая гипотеза верна, то m i представляет частоту появления события, имеющего в каждом из n проведенных испытаний вероятность p i , следовательно, мы можем рассматривать m i как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону с центром в точке np i . Когда n велико, то можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности гипотезы следует ожидать, что будут асимптотически нормально распределены
связанные между собой соотношением
В качестве меры расхождения данных выборки m 1 +m 2 +...+m r с теоретическими np 1 +np 2 +...+np r рассмотрим величину
c 2 - сумма квадратов асимптотически нормальных величин, связанных линейной зависимостью. Мы ранее встречались уже с аналогичным случаем и знаем, что наличие линейной связи привело к уменьшению на единицу числа степеней свободы.
Если проверяемая гипотеза верна, то критерий c 2 имеет распределение, стремящееся при n®¥ к распределению c 2 с r-1 степенями свободы.
Допустим, что гипотеза неверна. Тогда существует тенденция к увеличению слагаемых в сумме, т.е. если гипотеза неверна, то эта сумма будет попадать в некую область больших значений c 2 . В качестве критической области возьмем область положительных значений критерия
| |
В случае неизвестных параметров распределения каждый параметр уменьшает на единицу количество степеней свободы для критерия Пирсона
8.1. Понятие зависимых и независимых выборок.
Выбор критерия для проверки гипотезы
в первую очередь определяется тем, являются ли рассматриваемые выборки зависимыми или независимыми. Введем соответствующие определения.
Опр. Выборки называются независимыми , если процедура отбора единиц в первую выборку никак не связана с процедурой отбора единиц во вторую выборку.
Примером двух независимых выборок могут служить обсуждавшиеся выше выборки мужчин и женщин, работающих на одном предприятии (в одной отрасли и т.д.).
Заметим, что независимость двух выборок отнюдь не означает отсутствие требования определенного рода сходства этих выборок (их однородности). Так, изучая уровень дохода мужчин и женщин, мы вряд ли допустим такую ситуацию, когда мужчины отбираются из среды московских бизнесменов, а женщины – из аборигенов Австралии. Женщины тоже должны быть москвичками и, более того – «бизнесвуменшами». Но здесь мы говорим не о зависимости выборок, а о требовании однородности изучаемой совокупности объектов, которое должно удовлетворяться и при сборе, и при анализе социологических данных.
Опр. Выборки называются зависимыми, или парными, если каждая единица одной выборки «привязывается» к определенной единице второй выборки.
Последнее определение, вероятно, станет более ясным, если мы приведем пример зависимых выборок.
Предположим, что мы хотим выяснить, является ли социальный статус отца в среднем ниже социального статуса сына (полагаем, что мы можем измерить эту сложную и неоднозначно понимаемую социальную характеристику человека). Представляется очевидным, что в такой ситуации целессобразно отбрать пары респондентов (отец, сын) и считать, что каждый элемент первой выборки (один из отцов) «привязан» к определенному элементу второй выборки (своему сыну). Эти две выборки и будут называться зависимыми.
8.2. Проверка гипотезы для независимых выборок
Для независимых выборок выбор критерия зависит от того, знаем ли мы генеральные дисперсии s 1 2 и s 2 2 рассматриваемого признака для изучаемых выборок. Будем считать эту проблему решенной, полагая, что выборочные дисперсии совпадают с генеральными. В таком случае в качестве критерия выступает величина:
Прежде, чем переходить к обсуждению той ситуации, когда генеральные дисперсии (или хотя бы одна из них) нам неизвестны, заметим следующее.
Логика использования критерия (8.1) похожа на ту, которая была описана нами при рассмотрении критерия “Хи-квадрат” (7.2). Имеется лишь одно принципиальное отличие. Говоря о смысле критерия (7.2), мы рассматривали бесконечное количество выборок объема n, «черпающихся» из нашей генеральной совокупности. Здесь же, анализируя смысл критерия (8.1), мы переходим к рассмотрению бесконечного количества пар выборок объемом n 1 и n 2 . Для каждой пары и рассчитывается статистика вида (8.1). Совокупности получаемых значений таких статистик, в соответствии с нашими обозначениями, отвечает нормальное распределение (как мы условились, буква z используется для обозначения такого критерия, которому отвечает именно нормальное распределение).
Итак, если генеральные дисперсии нам неизвестны, то мы вынуждены вместо них пользоваться их выборочными оценками s 1 2 и s 2 2 . Однако при этом нормальное распределение должно замениться на распределение Стьюдента – z должно замениться на t (как это имело место в аналогичной ситуации при построения доверительного интервала для математического ожидания). Однако при достаточно больших объемах выборок (n 1 , n 2 ³ 30) , как мы уже знаем, распределение Стьюдента практически совпадает с нормальным. Другими словами, при больших выборках мы можем продолжать пользоваться критерием:
Сложнее обстоит дело с такой ситуацией, когда и дисперсии неизвестны, и объем хотя бы одной выборки мал. Тогда вступает в силу еще один фактор. Вид критерия зависит от того, можем ли мы считать неизвестные нам дисперсии рассматриваемого признака в двух анализируемых выборках равными. Для выяснения этого надо проверить гипотезу:
H 0: s 1 2 = s 2 2 . (8.3)
Для проверки этой гипотезы используется критерий
О специфике использования этого критерия пойдет речь ниже, а сейчас продолжим обсуждать алгоритм выбора критерия, использующего для проверки гипотез о равенстве математических ожиданий.
Если гипотеза (8.3) отвергается, то интересующий нас критерий приобретает вид:
(8.5)
(т.е. отличается от критерия (8.2), использовавшегося при больших выборках, тем, что соответствующая статистика имеет не нормальное распределение, а распределение Стьюдента). Если гипотез (8.3) принимается, то вид используемого критерия меняется:
(8.6)
Подведем итог того, как выбирается критерий для проверки гипотезы о равенстве генеральных математических ожиданий на основе анализа двух независимых выборок.
известны
неизвестны
размер выборок большой
H 0: s 1 = s 2 отвергается
Принимается
8.3. Проверка гипотезы для зависимых выборок
Перейдем к рассмотрению зависимых выборок. Пусть последовательности чисел
X 1 , X 2 , … , X n ;
Y 1 , Y 2 , … , Y n –
это значения рассматриваемой случайной для элементов двух зависимых выборок. Введем обозначение:
D i = X i - Y i , i = 1, ... , n.
Для зависимых выборок критерий, позволяющий проверять гипотезу
выглядит следующим образом:
Заметим, что только что приведенное выражение для s D есть не что иное, как новое выражение для известной формулы, выражающей среднее квадратическое отклонение. В данном случае речь идет о среднем квадратическом отклонении величин D i . Подобная формула часто используется на практике как более простой (по сравнению с «лобовым» подсчетом суммы квадратов отклонений значений рассматриваемой величины от соответствующего среднего арифметического) способ расчета дисперсии.
Если сравнить приведенные формулы с теми, которые мы использовали при обсуждении принципов построения доверительного интервала, нетрудно заметить, что проверка гипотезы о равенстве средних для случая зависимых выборок по существу является проверкой равенства нулю математического ожидания величин D i . Величина
есть среднее квадратическое отклонение для D i . Поэтому значение только что описанного критерия t n -1 по существу равно величине D i , выраженной в долях среднего квадратического отклонения. Как мы говорили выше (при обсуждении способов построения доверительных интервалов), по такому показателю можно судить о вероятности рассматриваемого значения D i . Отличие состоит в том, что выше шла речь о простом среднем арифметическом, распределенном нормально, а здесь – о средних разностей, такие средние имеют распределение Стьюдента. Но рассуждения о взаимосвязи вероятности отклонения выборочного среднего арифметического от нуля (при математическом ожидании, равном нулю) с тем, сколько единиц s это отклонение составляет, остаются в силе.
Пример
. Доходы аптек одного из микрорайонов города за некоторый период составили 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (условных единиц). В соседнем микрорайоне за то же время они были равны 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.
Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).
По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).
Во всех расчётах уровень значимости α = 0,05.
Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотезы о равенстве дисперсий .
1. Находим показатели вариации для первой выборки
.
| x | |x - x ср | | (x - x ср) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
Показатели вариации
.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 57.36
Дисперсия
Несмещенная оценка дисперсии
.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 225.3 в среднем на 78.37
.
.
Коэффициент вариации
Поскольку v>30% ,но v или
Коэффициент осцилляции
.
.
По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (9;0.025) = 2.262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. Находим показатели вариации для второй выборки
.
Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию.
Таблица для расчета показателей.
| x | |x - x ср | | (x - x ср) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения
.
Простая средняя арифметическая
Показатели вариации
.
Абсолютные показатели вариации
.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Среднее линейное отклонение
- вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 62.82
Дисперсия
- характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии
- состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Среднее квадратическое отклонение
.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 299.57 в среднем на 82.23
Оценка среднеквадратического отклонения
.
Относительные показатели вариации
.
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации
- мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Линейный коэффициент вариации
или Относительное линейное отклонение
- характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.
Коэффициент осцилляции
- отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности
.
Доверительный интервал для генерального среднего
.
Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (6;0.025) = 2.447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Поскольку s y 2 > s x 2 , то s б 2 = s y 2 , s м 2 = s x 2
Числа степеней свободы:
f 1 = n у – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим F кр (6;9) = 3.37
Т.к. F набл Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:
Число степеней свободы f = n х + n у – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (f;α/2) = T табл (15;0.025) = 2.131
По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 и данному числу степеней свободы находим t кр = 2.131
Т.к. t набл
