Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:
Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:
Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х 1 = 3 х 2 = 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Квадратичная функция.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + b + с = 0, то
— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + с = b , то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит
Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0
Выполняется равенство a + с = b , значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.
х 1 = –6 х 2 = –1/6.
2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.
х 1 = 15 х 2 = 1/15.
3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны
аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.
х 1 = – 17 х 2 = 1/17.
4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.
х 1 = 10 х 2 = – 1/10
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим
х 1 = 5 х 2 = 0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5
Кв. ур-ие и ЕГЭ.
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.
Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов :
1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;
2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;
3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.
- Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.
Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим
ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.
Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня
x = ±√(–c/a) .
Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.
Пример 1 . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.
Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.
Пример 2 . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.
Ответ: уравнение решений не имеет.
- Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.
Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.
Закрепим наши знания на конкретном примере.
Пример 3 . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.
х(3х ‒ 12) = 0
х= 0 или 3х – 12 = 0
Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.
- Уравнения третьего вида ах 2 = 0 решаются очень просто.
Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.
Для наглядности рассмотрим схему.
Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.
Пример 4. Решить уравнение 7х 2 = 0.
Ответ: х 1, 2 = 0.
Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.
Пример 5. Решить уравнение
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30
Сократим
5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.
Раскроем скобки
25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.
Приведем подобные
Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный
Ответ: корней нет.
Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.
Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки , мы вместе решим возникшие проблемы.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график (см. ниже).
Дискриминант и корни квадратного уравнения
Значение дискриминанта показывает количество квадратного уравнения:
- если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
- если \(D\) равен нулю – только один корень;
- если \(D\) отрицателен – корней нет.
Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что из дискриминанта (то есть, \(\sqrt{D}\) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.
Если дискриминант положителен
В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt{D}\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.
Пример
: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение
:
Ответ : \(x_{1}=1\); \(x_{2}=-3\)
Если дискриминант равен нулю
А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.
Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:
\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)
\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\) \(=\)\(\frac{-b}{2a}\)
То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.
Пример
: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Выписываем коэффициенты: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Находим корни уравнения |
|
|
\(x_{1}=\)\(\frac{-(-4)+\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\) \(x_{2}=\)\(\frac{-(-4)-\sqrt{0}}{2\cdot1}\) \(=\)\(\frac{4}{2}\) \(=2\) |
|
Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один. |
Ответ : \(x=2\)
Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.
Геометрический смысл квадратного уравнения
Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
. Из этого следует, что есть три возможных случая:
1)
парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).
2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.
На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.
1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.
2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.
Вывод формулы для решения квадратного уравнения
Перенесем константу с квадратного уравнения 
за знак равенства, получим выражение
Умножим обе части на 4а
Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование
Отсюда находим
Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формуле
При нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле
Теорема Виета
Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение вида
то сумма его корней равна коэффициенту p
, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.
Расписание квадратного уравнения на множители
Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.
Задачи на квадратное уравнение
Задача 1. Найти корни квадратного уравнения
x^2-26x+120=0 .
Решение:
Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта
Корень из данного значения равен 14
, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней
и получаем
Задача 2. Решить уравнение
2x 2 +x-3=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант
По известным формулам находим корни квадратного уравнения
Задача 3. Решить уравнение
9x 2 -12x+4=0.
Решение:
Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант
Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле
Задача 4. Решить уравнение
x^2+x-6=0 .
Решение:
В случаях когда есть малые коэффициенты при х
целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения
С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны
Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .
Решение:
Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
– большую сторону, тогда 18-x
меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения
Вычисляем корни уравнения
Если х=11
,
то 18-х=7
,
наоборот тоже справедливо (если х=7
, то 21-х=9
).
Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.
Решение:
Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем
Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.
Квадратное уравнение с параметром
Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?
Решение:
Прямой подстановкой значения а=3
видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2
. Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а
, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7
, а их произведение 12
. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4
будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3
мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4
.
Таким образом, при а=4
уравнение имеет один корень.
Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Решение:
Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
и а=-3
. При а=0
уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
и будет один корень. При а= -3
получим тождество 0=0
.
Вычислим дискриминант
и найдем значения а
при котором оно положительно
С первого условия получим а>3
. Для второго находим дискриминант и корни уравнения
Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
получим 3>0
.
Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
,
которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.
Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. Поэтому проходят школьные годы, обучение в 9-11 классе заменяет "высшее образование" и все снова ищут - "Как решить квадратное уравнение?", "Как найти корни уравнения?", "Как найти дискриминант?" и...
Формула дискриминанта
Дискриминант D
квадратного уравнения a*x^2+bx+c=0
равен D=b^2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D)
:
D>0
– уравнение имеет 2
различных действительных корня;
D=0
- уравнение имеет 1
корень (2
совпадающих корня):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
.
Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :
Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле
Вторая способ нахождения корней - это Теорема Виета.
Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни
До 4
уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6,
следовательно корнями могут быть значения (1, 6)
и (2, 3)
или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7
(коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла - "Зачем школьникам квадратное уравнение?", "Какой физический смысл дискриминанта?".
Давайте попробуем разобраться, что описывает дискриминант?
В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде 
Так вот физический смысл квадратного уравнения - это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0)
,
или парабола ветвями вниз (a<0)
.
Вершина параболы лежит посередине между корнями
Физический смысл дискриминанта:
Если дискриминант больше нуля (D>0)
парабола имеет две точки пересечения с осью Ox
. 
Если дискриминант равен нулю (D=0)
то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
