Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

• из последнего равенства находим $U"\left(y\right)$;
• интегрируем $U"\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
• подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.

\

Находим разность:

Интегрируем $U"\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:

Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида

где
называется уравнением в полных дифференциалах.

Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
.

В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

,

решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию
. В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

(8.6)

Функцию
будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

где - произвольная функция, не зависящая от.

Функция
определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

(8.7)

Из выражения (8.7) и определяется функция
. Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного уравнения.

Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

Здесь
.

Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде

.

С другой стороны,

.

В ряде случаев условие
может не выполняться.

Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

где отношение
должно быть только функцией.

Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

.

Рассмотрим отношение:

.

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 8.5 . Дифференциальное уравнение
называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

(8.8)

Если в соотношении (8.8) правая часть
, то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть
, то такое уравнение называется линейным неоднородным.

Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

;

/

Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией
, подлежащей определению. Итак, имеем:

(8.9)

Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
, получим

Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение

Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.

;

На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-

,

где
- функция, подлежащая определению.

Итак, имеем:

Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:

;

;

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

.

В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

Пример 1

Рассмотрим уравнение P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U (x , y) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Полный дифференциал функции U (x , y) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x , y) ∂ U ∂ y = Q (x , y)

Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

U (x , y) = ∫ P (x , y) d x + φ (y)

Функцию φ (y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U (x , y) ∂ y = ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x , y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x , y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Так мы нашли искомую функцию U (x , y) = 0 .

Пример 2

Найдите для ДУ (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 общее решение.

Решение

P (x , y) = x 2 - y 2 , Q (x , y) = - 2 x y

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Наше условие выполняется.

На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.

Так как (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y является полным дифференциалом функции U (x , y) = 0 , то

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Интегрируем по x первое уравнение системы:

U (x , y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Теперь дифференцируем по y полученный результат:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Это значит, что
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

где С – произвольная постоянная.

Получаем: U (x , y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x 0 , y 0) до точки с переменными координатами (x , y) :

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

Пример 3

Найдите общее решение дифференциального уравнения (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Решение

Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U (x , y) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1 ; 1) до (x , y) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1 , 1) до (x , 1) , а затем от точки (x , 1) до (x , y) :

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x · 1 - x · 1 2) = x y - x y 2

Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y - x y 2 + C = 0 .

Пример 4

Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Решение

Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .

Так как ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определение: Уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.

Пусть дано уравнение вида (9). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение равенства

Допустим, что для данного выражения (10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области (S) и, следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).

Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы

где функция (у) будет определена ниже. Из формулы (12) тогда следует, что

во всех точках области (S). Теперь подберем функцию (у) так, чтобы имело место равенство

Для этого перепишем нужное нам равенство (14), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (12):

Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и - непрерывные функции двух переменных):

Так как по (11) , то, заменяя на под знаком интеграла в (16), имеем:

Проинтегрировав по у, найдем саму функцию (у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что

в области (S). (18)

Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его.

Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая, убеждаемся в том, что

а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом - непрерывные в R функции.

Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда

Интегрируя левую и правую части по x, получим:

Чтобы найти ц(y), используем тот факт, что

Подставляя найденное значение ц(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).

Линейные дифференциальные уравнения

Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y" + P(x)y = f(x), (21)

где P(x) и f(x) - непрерывные функции.

Название уравнения объясняется тем, что производная y" - линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y" = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.

Если f(x) = 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = 0 (22)

называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

y" +P(x)y = 0; ,

Если f(x) ? 0, то уравнение

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

называется линейным неоднородным уравнением.

В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.

Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):

Найдем производную:

y" = U"V + UV" (25)

и подставим эти выражения в уравнение (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Сгруппируем слагаемые в левой части:

U"V + U = f(x). (26)

Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения

V" + P(x)V = 0. (27)

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):

Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U V было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения

Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):

Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 6. Найти общий интеграл уравнения.

Это уравнение не является линейным относительно y и y", но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к, получаем

Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда. Получаем уравнение:

Выберем функцию V(y) так, чтобы. Тогда

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах - это уравнение вида:
(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y :
.
При этом .

Если найдена такая функция U(x, y) , то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0 .
Его общий интеграл:
U(x, y) = C ,
где C - постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1) . Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x 0 , y 0 также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2) .
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2) .
Пусть выполняется условие (2) :
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x 0 до x , считая что y - это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x - это постоянная и применим (2) :

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y 0 до y :
;
;
.
Подставляем в (5) :
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6) , U(x 0 , y 0) является постоянной - значением функции U(x, y) в точке x 0 , y 0 . Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2) :
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет - то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:


.
Дифференцируем


.
Поскольку:
,
то заданное уравнение - в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v) ;
v du + u dv = d(uv) ;
;
.
В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1) :
;
.

Ответ

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .

Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) - произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4) :
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y) .

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U(x, y) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :

.
Подставим в (4) :
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2) :

.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const .
Объединяем две постоянные в одну.

Ответ

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0) и (x, y) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x 0 , y 0) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x 0 и y 0 - постоянные. Поэтому U(x 0 , y 0) - также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве :
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки (x 0 , y 0 ) до точки (x 0 , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки (x 0 , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) в параметрическом виде:
x 1 = s(t 1) ; y 1 = r(t 1) ;
x 0 = s(t 0) ; y 0 = r(t 0) ;
x = s(t) ; y = r(t) ;
и интегрировать по t 1 от t 0 до t .

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) . В этом случае:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1 ; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 ;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1 ; dy 1 = (y - y 0) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.