Конечной целью анализа САР является решение (если это возможно) или исследование дифференциального уравнения системы в целом. Обычно известны уравнения отдельных звеньев, входящих в состав САР, и возникает промежуточная задача получения дифференциального уравнения системы по известным ДУ её звеньев. При классической форме представления ДУ эта задача сопряжена со значительными трудностями. Использование понятия передаточной функции существенно упрощает её.

Пусть некоторая система описывается ДУ вида.

Введя обозначение = p, где p называют оператором, или символом, дифференцирования, и обращаясь теперь с этим символом как с обычным алгебраическим числом, после вынесения x вых и x вх за скобки, получают дифференциальное уравнение этой системы в операторной форме:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x вых = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x вх. (3.38)

Многочлен от p, стоящий при выходной величине,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

называется собственным оператором, а многочлен при входной величине – оператором воздействия

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Передаточной функцией называется отношение оператора воздействия к собственному оператору:

W(p) = K(p)/D(p) = x вых /x вх. (3.41)

В дальнейшем мы будем практически всюду использовать именно операторную форму записи дифференциальных уравнений.

Виды соединений звеньев и алгебра передаточных функций.

Получение передаточной функции САР требует знания правил нахождения передаточных функций групп звеньев, в которых звенья соединены между собой определенным образом. Имеется три типа соединений.

1.Последовательное, при котором выход предыдущего звена является входом для последующего (рис.3.12):

x вых

Рис. 3.14. Встречно – параллельное соединение.

В зависимости от того, складывается сигнал обратной связи х с входным сигналом х вх либо вычитается из него, различают положительные и отрицательные обратные связи.

Попрежнему базируясь на свойстве передаточной функции, можем написать

W 1 (p) =x вых /(x вх ±х) ; W 2 (p) = x/x вых; W c =x вых /x вх. (3.44)

Исключив из первых двух уравнений внутреннюю координату х, получим передаточную функцию для такого соединения:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Следует иметь в виду, что в последнем выражении знак плюс соответствует отрицательной обратной связи.

В том случае, когда какое-нибудь звено имеет несколько входов (как, например, объект регулирования), рассматриваются несколько передаточных функций этого звена, соответствующие каждому из входов, например, если уравнение звена имеет вид

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

где K x (p) и K z (p) – операторы воздействий соответственно по входам x и z, то это звено имеет передаточные функции по входам х и z:

W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

В дальнейшем в целях сокращения записей в выражениях передаточных функций и соответствующих операторов будем опускать аргумент «p».

Из совместного рассмотрения выражений (3.46) и (3.47) следует, что

y = W x x+W z z, (3.48)

то есть в общем случае выходная величина любого звена с несколькими входами равна сумме произведений входных величин на передаточные функции по соответствующим входам.

Передаточная функция САР по возмущению.

Обычный вид структуры САР, работающей по отклонению регулируемой величины, таков:

W o z =K z /D объект W o x =K x /D

W p y

z

y

-x

Рис.3.15. Замкнутая САР.

Обратим внимание на то обстоятельство, что регулирующее воздействие поступает на объект с измененным знаком. Связь между выходом объекта и его входом через регулятор называется главной обратной связью (в отличие от возможных дополнительных обратных связей в самом регуляторе). По самому философскому смыслу регулирования действие регулятора направлено на уменьшениеотклонения регулируемой величины, и потому главная обратная связь всегда отрицательна. На рис. 3.15:

W o z - передаточная функция объекта по возмущению;

W o x - передаточная функция объекта по регулирующему воздействию;

W p y - передаточная функция регулятора по отклонению у.

Дифференциальные уравнения объекта и регулятора выглядят так:

y=W o x x +W o z z

x = - W p у y. (3.49)

Подставив х из второго уравнения в первое и выполнив группировку, получаем уравнение САР:

(1+W o x W p у)y = W o z z . (3.50)

Отсюда передаточная функция САР по возмущению

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p у) . (3.51)

Подобным путём можно получить и передаточную функцию САР по управляющему воздействию:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

где W p u -передаточная функция регулятора по управляющему воздействию.

3.4 Вынужденные колебания и частотные характеристики САР.

В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.

Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Рис.3.16. САР в режиме вынужденных колебаний.

Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой А х и круговой частотой w, то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой А у и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол j. Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.

В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис.3.14, дифференциальное уравнение её имеет вид

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Подставим в (3.53) выражения для х и у, приведенные на рис. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (3.54) функции синусов сменятся функциями косинусов:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Умножим уравнение (3.54) на i = и сложим полученное с (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Применяя формулу Эйлера

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

приведём уравнение (3.56) к виду

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:

A y exp=

A x exp(iwt). (3.58)

После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(iwt), получаем

Правая часть выражения (3.59) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=iw. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(iw), или амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)

где M(w) и N(w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики.

Отношение А у /А х есть модуль АФХ и является функцией частоты:

А у /А х =R(w)

и называется амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ). Фазовый

сдвиг j =j (w) - также функция частоты и называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). Вычисляя R(w) и j(w) для диапазона частот (0…¥), можно построить на комплексной плоскости в координатах M(w) и iN(w) график АФХ (рис.3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω рез

Рис.3.18. Амплитудно-частотные характеристики.

На АЧХ системы 1 виден резонансный пик, соответствующий наибольшей амплитуде вынужденных колебаний. Работа в зоне около резонансной частоты может оказаться губительной и часто вообще недопустима правилами эксплуатации конкретного объекта регулирования. АЧХ вида 2 не имеет резонансного пика и для механических систем более предпочтительна. Видно также, что с увеличением частоты амплитуда выходных колебаний уменьшается. Физически это легко объясняется: любая система в силу присущих ей инерционных свойств легче подчиняется раскачиванию низкими частотами, чем высокими. Начиная с некоторой частоты, колебания на выходе становятся незначительными, и эту частоту называют частотой среза, а диапазон частот ниже частоты среза называют полосой пропускания частот. В теории автоматического регулирования за частоту среза принимают такую, при которой значение АЧХ в 10 раз меньше, чем при нулевой частоте. Свойство системы гасить высокочастотные колебания называется свойством фильтра низких частот.

Рассмотрим методику расчета АЧХ на примере звена второго порядка, дифференциальное уравнение которого

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

В задачах вынужденных колебаний часто используют более наглядную форму уравнения

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

где называется собственной частотой колебаний при отсутствии затухания, x =T 1 w 0 /2 - коэффициент затухания.

Передаточная функция при этом выглядит так:

Заменой p = iw получаем амплитудно-фазовую характеристику

Используя правило деления комплексных чисел, получаем выражение для АЧХ:

Определим резонансную частоту, при которой АЧХ имеет максимум. Это соответствует минимуму знаменателя выражения (3.66). Приравнивая нулю производную знаменателя по частоте w, имеем:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

откуда получаем значение резонансной частоты, не равное нулю:

w рез = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Проанализируем это выражение, для чего рассмотрим отдельные случаи, которым соответствуют различные значения коэффициента затухания.

1. x = 0. Резонансная частота равна собственной, и модуль АЧХ при этом обращается в бесконечность. Это случай так называемого математического резонанса.

2. . Поскольку частота выражается положительным числом, а из (68) для этого случая получается либо нуль, либо мнимое число, следует вывод, что при таких значениях коэффициента затухания АЧХ не имеет резонансного пика (кривая 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ имеет резонансный пик, причём с уменьшением коэффициента затухания резонансная частота приближается к собственной и резонансный пик становится выше и острее.

Типовые звенья линейных систем можно определять различными эквивалентными способами, в частности с помощью, так называемой передаточной функции, имеющей, как правило, дробно-рациональный вид, т.е. представляющей собой отношение двух полиномов:

где b i и a j – коэффициенты полиномов. Это т.н. параметры передаточной функции или звена.

Передаточная функция связывает изображение Y(p) выходного сигнала y(t) звена с изображением X(p) его входного сигнала x(t):

Y(p)=W(p)X(p) (1.2)

т.е. позволяет по любому известному входному сигналу x(t) найти выходной y(t). Это значит что с точки зрения ТАУ передаточная функция полностью характеризует систему управления или ее звено. Это же самое можно сказать и в отношении совокупности коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Передаточной функцией звена W (p ) называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входной величины

2. Краткие сведения о позиционных звеньях

К позиционным звеньям относятся следующие типовые динамические звенья:

Безынерционное звено,

Апериодическое звено первого порядка,

Апериодическое звено второго порядка,

Колебательное звено,

Консервативное звено.

Временные характеристики позиционных звеньев сведены в табл. 1. Здесь же указаны передаточные функции звеньев.

а). Безынерционное звено.

Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алгебраическим уравнением

х вых = k  x вх (2.1)

Передаточная функция звена равна постоянной величине

W(p) = x вых (р) / х вх (р) = k (2.2)

Примером такого звена являются: механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционный (широкополосный) электронный усилитель, делитель напряжения и т.п. Многие датчики сигналов, как, например, потенциометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся трансформаторы и сельсины, фотоэлементы и т.п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

Вообще безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности, все звенья характеризуются некоторой инерционностью, поэтому ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от 0 до . Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассмотренных ниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических процессов в этом звене (т.е. постоянными времени).

б) Апериодическое звено 1-го порядка

Это звено описывается дифференциальным уравнением

, (2.3)

где Т - постоянная времени, с,

k - коэффициент передачи звена.

Передаточная функция звена имеет вид

(2.4)

Апериодическое звено – простейшее из тех звеньев, которые обладают инерцией. Действительно это звено не сразу, вначале быстро, а затем все более постепенно реагирует на ступенчатое воздействие. Это происходит потому, что в физическом оригинале апериодического звена имеется один накапливающий элемент (а также один или несколько потребляющих энергию элементов), энергия, запасенная в котором, не может изменяться скачком во времени – для этого потребовалась бы бесконечная мощность.

В качестве примеров апериодических звеньев 1-го порядка можно указать: двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический), генератор постоянного тока, электрические RC - и LR - цепи, магнитный усилитель, резервуар с газом, нагревательная печь. Рабочие процессы в этих звеньях описываются общим уравнением (2.3).

в) Апериодическое звено 2-го порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

(2.5)

При этом корни характеристического уравнения

p 2 + T 1  p +1=0 (2.6)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии

T 1  2  T 2 (2.7)

Будем полагать, что процессы, проходящие в САР, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением линейных САР с постоянными параметрами, т.е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.

Пусть для динамической системы (см. рис.)

дифференциальное уравнение записано в операторной форме

где D(P) и M(P) – многочлены от P.

P – оператор дифференцирования;

x(t) – выходная координата системы;

g(t) – входное воздействие.

Преобразуем (1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия.

Введем обозначения

;
,

получим, учитывая, что

Используем обозначение

, (5)

тогда уравнение (3) примет вид:

. (6)

Уравнение (6) связывает изображение Х (S) выходной координаты системы с изображением G(S) входного воздействия. Функция Ф(S) характеризует динамические свойства системы. Как следует из (4) и (5), эта функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров системы. Учитывая (6) функцию Ф(S ) можно записать следующим образом

Функция Ф(S) называется передаточной функцией системы. Из (7) видно, что передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу входной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Зная передаточную функцию системы Ф(S) определив изображение G(S) воздействия g(t), приложенного к системе можно найти по (6) изображение Х(S) выходной координаты системы х (t), затем, переходя от изображения Х(S) к оригиналу х(t) получить процесс изменения выходной координаты системы при приложении к этой системе входного воздействия.

Многочлен в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом, а уравнение

характеристическим уравнением.

Для системы, описываемой уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени и имеет n корней, S 1 S 2… S n , среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно – сопряженные.

Корень многочлена стоящего в знаменателе передаточной функции называются полюсами этой передаточной функции, а в числителе – нулями.

Представим многочлены в виде:

Поэтому передаточная функция

. (11)

Отсюда следует, что задание нулей и полюсов определяет передаточную функцию с точностью до постоянного множителя .

В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т.е.

, k=1,2…n,система называется устойчивой. В ней переходная составляющая выходной величины (собственного движения) с течением времени затухает.

Частотные характеристики системы

Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала

Передаточная функция автоматической системы по отношению к управляющему воздействию g(t) есть

(1)

Пусть воздействие

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.

Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к 0, т.к. система предполагается устойчивой. Его мы не рассматриваем. Подобный переход позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени (не рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное ранее выражение для спектральной характеристики синусоиды.

Для определения x(t) в установившемся режиме преобразуем обе части дифференциального уравнения (1) по Фурье. При этом имеем в виду, что

;

,

Заметим, что

передаточная функция, в которой S

Кроме того

Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определяется из (3) в виде

В (4) функциональный множитель Ф(jω) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия g(t) через линейную динамическую систему.

Представим комплексную функцию Ф(jω) в показательной форме

и найдем х(t) по формуле обратного преобразования Фурье:

используя фильтрующие свойства дельта-функции, и учитывая (5), будем иметь

Т.к.
,,

(6)

Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция х(t) линейной автоматической системы на синусоидальные воздействия является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигнала совпадают. Амплитуда на выходе системы равна А 1 │Ф(jω) │, а начальная фаза равна argФ(jω) .

Если на вход линейной системы поступает периодическое воздействие в виде

,

то, используя принцип суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы

(7)

Причем величине ω здесь следует придавать дискретные значения, т.е. полагать ω=kω 1

Зная частотные спектры сигнала на входе, можно легко определить частотные спектры сигнала на входе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр А k входного сигнала g(t), то амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть А k │Ф(jkω 1 ) │.

В рассматриваемых выражениях функция Ф(jω) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции формальной заменой S на jω

Функция Ф(jω) от непрерывного аргумента ω называется амплитудно-фазовой характеристикой системы АФХ по отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному к системе.

Исходя из (3) АФХ может быть определена также, как отношение спектральной характеристики сигнала на ее входе. Модуль АФХ Ф(j  )  характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее – фазовый сдвиг сигнала.

Функция Ф(j  ) получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция argФ(j  ) – фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Пусть воздействие g(t), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой  1 , т.е.

Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством

Или используя формулу Эйлера

а также то, что

;

Интеграл в правой части равенства найдем, используя фильтрующие свойства дельта-функции.

определяет в комплексной форме установившуюся реакцию системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой 1.

АФХ может быть использована не только для анализа установившихся колебаний на выходе автоматической системы, но и для определения процесса регулирования в целом. В последнем случае момент времени t 0 приложения к системе управляющего воздействия удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив спектральную характеристику
и найдя спектральную характеристику регулируемой величины по формуле

Изменение регулируемой величины x(t) после приложения воздействия g(t) находится по формуле обратного преобразования Фурье.

1. Передаточные функции и частотные характеристики. Аналоговые устройства аппаратуры связи

1. Передаточные функции и частотные характеристики

Электрическую цепь любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии, в технике связи называют четырехполюсником . Зажимы, к которым подключается источник, называются входными , а зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка) – выходными зажимами (полюсами) .

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 1.1. К входу четырехполюсника 1–1" подключен источник электрической энергии с комплексным действующим значением напряжения и внутренним сопротивлением . К выходным зажимам 2–2" присоединена нагрузка с сопротивлением . К входным зажимам приложено напряжение с комплексным действующим значением , к выходным – с комплексным действующим значением . Через входные зажимы протекает ток с комплексным действующим значением , через выходные зажимы – с комплексным действующим значением . Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 1.1 использованы символические обозначения напряжений и токов. Это означает, что анализ электрической цепи проводится для гармонического колебания определенной частоты. Для данного гармонического колебания можно определить передаточную функцию нагруженного четырехполюсника , которая будет представлять собой отношение комплексного действующего значения выходной электрической величины к комплексному действующему значению входной электрической величины.

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением , а реакцией четырехполюсника на это воздействие – напряжение с комплексным действующим значением или ток с комплексным действующим значением , то получаются комплексные передаточные функции общего вида :

, (1.1)

. (1.2)

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций:

– комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

– комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей – коэффициент усиления по току);

– комплексное передаточное сопротивление;

– комплексная передаточная проводимость.

Часто в теории цепей используют нормированную или рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

, (1.3)

которая получается путем нормирования (1.1) множителем .

Как всякую комплексную величину Н можно представить в показательной форме:

, (1.4)

где – модуль комплексной передаточной функции, а j – ее аргумент.

Рассмотрим комплексную передаточную функцию по напряжению

Подставляя в (1.5) запись комплексных действующих значений

.

Из сравнения этого выражения с (1.4) видно, что

,

т. е. модуль комплексной передаточной функции по напряжению (или комплексного коэффициента усиления по напряжению) показывает во сколько раз изменяется действующее значение (амплитуда) гармонического колебания напряжения на выходе цепи по сравнению с аналогичным значением на входе цепи, а аргумент этой функции определяет сдвиг фаз между гармоническими колебаниями напряжения на входе и выходе.

Точно так же можно найти:

.

Все сказанное выше о коэффициенте передачи по напряжению справедливо и для коэффициента передачи по току.

Если мы будем изменять частоту гармонического колебания, то выражение (1.4) следует записать в виде:

. (1.6)

Функция частоты называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ). Она показывает какие изменения в амплитуды гармонических колебаний вносит цепь на каждой частоте.

Функция частоты называется фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ). Соответственно эта характеристика показывает какой фазовый сдвиг приобретает гармоническое колебание каждой частоты при распространении по цепи.

Комплексную передаточную функцию можно представить также в алгебраической форме:

где Re и Im означают реальную и мнимую части комплексной величины.

Из теории комплексных величин известно, что

Пример 1.1

Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а .

Согласно (1.5) запишем

Найдем комплексную функцию на выходе цепи:

Подставив в формулу для , получим комплексную передаточную функцию:

;

Изменяя частоту w от 0 до Ґ , можем изобразить графики АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 1.2, б и в ).

АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. При этом конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом комплексной передаточной функции (рис. 1.3).

Часто специалисты оперируют понятием логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ):

.

Значения величины К оцениваются в децибелах (дБ). В активных цепях, содержащих усилители, величину К называют еще логарифмическим усилением . Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления вводят понятие ослабления цепи :

, (1.7)

которое также оценивается в децибелах.

Пример 1.2

Известно, что модуль коэффициента передачи по напряжению цепи принимает следующие значения:

f = 0 кГц Н (f ) = 1

f = 1 кГц Н (f ) = 0,3

f = 2 кГц Н (f ) = 0,01

f = 4 кГц Н (f ) = 0,001

f = 8 кГц Н (f ) = 0,0001

Изобразить график ослабления цепи.

Значения ослабления цепи, рассчитанные по (1.7), приведены в таблице:

f , кГц
А (f ), дБ

График А (f ) приведен на рис. 1.4.

Если вместо комплексных сопротивлений емкости и индуктивности иметь дело с операторными сопротивлениями емкости и индуктивность pL , то в выражении нужно заменить на р .

Операторная передаточная функция цепи может быть записана в общем виде как дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами:

или в виде

где – нули; – полюсы передаточной функции; .

Заменив в (1.8) оператор р на jw , вновь получим комплексную передаточную функцию цепи

,

где АЧХ цепи

Учитывая, что является иррациональной функцией, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w .

Пример 1.3

Найти коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ цепи, изображенной на рис. 1.5, а .

Коэффициент передачи по напряжению этой цепи равен

где Н = 1, , .

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

.

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

.

На рис. 1.5, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

.

Амплитудно-частотная характеристика определяется из путем замены р на и вычисления модуля полученной функции

.

Квадрат АЧХ запишется в виде

где ; ;

.

АЧХ цепи изображена на рис. 1.5, в .

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р . На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции . Выберем входное воздействие или в операторной форме . Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно , т. е.

где – полином числителя передаточной функции; – коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения к оригиналу :

где в общем случае .

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (1.13) вещественные части полюсов должны быть отрицательными , т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р .

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. n Ф m . Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

В большинстве цепей с зависимыми источниками имеется по крайней мере два пути прохождения сигнала: прямой (от входа к выходу) и обратный (с выхода на вход). Обратный путь прохождения сигнала реализуется с помощью специальной цепи обратной связи (ОС). Таких путей, а значит и цепей ОС, может быть несколько. Наличие в цепях с зависимыми источниками ОС придает им новые ценные качества, которыми не обладают цепи без ОС. Например, с помощью цепей ОС можно осуществить температурную стабилизацию режима работы цепи, уменьшить нелинейные искажения, возникающие в цепях с нелинейными элементами и т. д.

Любую цепь с обратной связью можно представить состоящей из двух четырехполюсников (рис. 1.6).

Активный линейный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению является усилителем. Его иногда называют основным элементом цепи и говорят, что он образует канал прямого усиления.

Пассивный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению называется цепью обратной связи. На входе цепи осуществляется суммирование входного напряжения и напряжения обратной связи .

Выведем формулу передаточной функции по напряжению цепи, изображенной на рис. 1.6. Пусть на вход подается напряжение . Его операторное изображения . На выходе цепи возникает напряжение . В соответствии с рис. 1.6 его операторное изображение

Операторное изображение можно записать через передаточную функцию цепи обратной связи

Тогда выражение (1.14) можно переписать в виде

Операторная передаточная функция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 1.6).

. (1.16)

Пример 1.4

На рис. 1.7 изображена цепь на операционном усилителе (ОУ), предназначенная для масштабирования напряжения. Найти передаточную функцию этой цепи.

Получим передаточную функцию этой цепи как цепи с обратной связью, используя формулу (1.16).

Цепью обратной связи на схеме рис. 1.7 служит Г-образный делитель напряжения, составленный из резистивных сопротивлений и . Выходное напряжение усилителя поступает на вход цепи ОС; напряжение ОС снимается с резистора . Передаточная функция по напряжению цепи ОС

Воспользуемся формулой (1.16) и учтем, что входное напряжение и напряжение обратной связи не суммируются, а вычитаются. Тогда получим передаточную функцию масштабного усилителя:

.

Учитывая, что в реальных ОУ значение >> 1, окончательно имеем:

Пример 1.5

Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС представлено на рис. 1.8. Найти передаточную функцию этого звена.

Чтобы проанализировать прямой путь прохождения сигнала и путь прохождения сигнала ОС, необходимо воспользоваться методом наложения. Для этого следует поочередно исключать источники входного напряжения и напряжения обратной связи, заменяя их внутренним сопротивлением. В случае идеальных источников напряжения их внутреннее сопротивление равно нулю. Напряжение , приложенное к звену, ослабляется входной цепью, представляющей собой Г-образный делитель напряжения с сопротивлениями и в плечах. Передаточная функция по напряжению такого делителя равна

Цепь обратной связи также является Г-образным четырехполюсником с передаточной функцией.

Коэффициент усиления ОУ .

В соответствии с формулой (1.16) получаем передаточную функцию звена:

Учитывая, что >> 1, получаем:

.

Данное звено может выполнять различные функции в зависимости от вида сопротивлений и . При и звено превращается в инвертирующий масштабный усилитель; при и – в интегратор; при и – в дифференциатор.

Пример 1.6

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиления представлено на рис. 1.9, а . Найти передаточную функцию этого звена.

Анализ прохождения входного сигнала и сигнала в цепи ОС показывает, что звено имеет входную цепь, изображенную на рис. 1.9, б и цепь ОС, показанную на рис. 1.9, в . Передаточные функции этих цепей можно получить матричным методом, например, рассматривая каждую цепь как каскадное соединение соответствующих Г-образных четырехполюсников.

Для входной цепи

Для цепи ОС

. (1.18)

С учетом (1.16) получим передаточную функцию звена

. (1.19)

Коэффициент передачи усилителя . Тогда, подставляя (1.17) и (1.18) в (1.19), после преобразования имеем

.

Переходя в (1.16) от оператора р к оператору , получаем комплексную передаточную функцию

. (1.20)

Произведение представляет собой комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 1.10). Функцию называют передаточной функцией по петле ОС или петлевым усилением . Введем понятия положительной и отрицательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в теории цепей с обратной связью.

Предположим вначале, что передаточные функции , , не зависят от частоты и являются вещественными числами. Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют LC -элементы. При этом может быть как положительным, так и отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями или, другими словами, сдвиг фаз по петле обратной связи равен нулю или , k = 0, 1, 2, ... Во втором случае, когда , сдвиг фаз по этой петле равен или .

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю, то обратная связь называется положительной , если же сдвиг фаз равен , то такая обратная связь называется отрицательной .

Передаточную функцию можно изобразить в виде векторов и показать их на комплексной плоскости. При положительной обратной связи вектор находится на положительной вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи – на отрицательной вещественной полуоси.

Кривая, которую описывает конец вектора при изменении частоты w (рис. 1.11), называется, как известно, годографом.

Представление в виде годографа позволяет определить вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.

Введем понятия устойчивой и неустойчивой цепи. Цепь называется устойчивой , если свободные колебания с течением времени стремятся к нулю. В противном случае цепь называется неустойчивой . Из теории переходных процессов следует, что цепь является устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р. Если корни такого уравнения лежат в правой полуплоскости, то цепь является неустойчивой, т. е. она находится в режиме самовозбуждения. Таким образом, для определения условий устойчивости цепи достаточно найти характеристическое уравнение и его корни. Как видим, условия устойчивости можно определить и не вводя понятие обратной связи. Однако здесь возникает ряд проблем. Дело в том, что вывод характеристического уравнения и определение его корней являются громоздкой процедурой, особенно для цепей высокого порядка. Введение понятия обратной связи облегчает получение характеристического уравнения или даже дает возможность обойтись без него. Крайне важно и то, что понятие обратной связи адекватно физическим процессам, возникающим в цепи, поэтому они становятся более наглядными. Глубокое понимание физических процессов облегчает работу по созданию автогенераторов, усилителей и т. д.

Рассмотрим цепь (см. рис. 1.6) и выведем ее характеристическое уравнение. Пусть и, значит, . Тогда из (1.15) следует:

. (1.22)

Если записать передаточную функцию основной цепи в виде , а цепи ОС – , то уравнение (1.22) перепишется следующим образом:

Это равенство выполняется при

Выражение в левой части этого равенства является полиномом, поэтому (1.23) можно записать в общем виде:

Это и есть характеристическое уравнение цепи.

Корни уравнения (1.24) в общем случае являются комплексными величинами

где . Зная корни характеристического уравнения, можно записать выходное напряжение:

Чтобы напряжение не возрастало безгранично, всем корням характеристического уравнения необходимо иметь отрицательные вещественные части, т. е. корни должны располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной . Цепь с ОС, обладающая такими свойствами, называется абсолютно устойчивой.

При исследовании цепей с обратной связью могут возникать две проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, то необходимо располагать критерием, который по виду функций и позволял бы судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости р . Если обратная связь используется для создания неустойчивой автоколебательной цепи, то следует убедиться, что корни уравнения (1.24) расположены, наоборот, в правой полуплоскости. При этом необходимо иметь такое расположение корней, при котором самовозбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Рассмотрим критерий устойчивости цепи, названный критерием Найквиста, и позволяющий судить об устойчивости цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи (рис. 1.10).

Передаточная функция разомкнутой цепи, или петлевое усиление, входит в характеристическое уравнение (1.22):

, (1.26)

Если найдется такая частота w , для которой конец вектора попадает в точку с координатами (1, j 0), то это будет означать, что выполняется условие (1.26), т. е. на этой частоте в цепи произойдет самовозбуждение. Значит, по годографу можно определить, устойчива цепь или нет. Для этого используется критерий Найквиста, который формулируется следующим образом: если годограф передаточной функции разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (1, j 0), то при замкнутой цепи обратной связи цепь является устойчивой. В том случае, когда годограф охватывает точку (1, j Х 1 можно записать в виде двух условий:в стационарной режиме. К = 2, кривая 1) и неустойчивой (К = 3, кривая 2; К = 4, кривая 3) цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

2. Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а , если выходным напряжением является напряжение на резисторе R . Построить графики АЧХ и ФЧХ.

Ответ : ; ; 90° – arctg wRC .

3. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для П-образного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L , а в поперечные ветви – емкость С . Ответ : .

4. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.2, а , при R = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ : 12 дБ.

5. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией? Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

6. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 1.5, а , если выходным напряжением является напряжение на емкости С . Построить график АЧХ цепи.

Ответ : ; .

7. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

8. Как рассчитывается передаточная функция цепи с обратной связью?

9. Доказать, что операторная передаточная функция дифференциатора на операционном усилителе равна (–pRC ). Построить график АЧХ такого дифференциатора.

11. Определить передаточную функцию фильтра, изображенного на рис. 1.13.

Ответ : .

12. Что такое годограф петлевого усиления? Как по годографу определить тип обратной связи?

13. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? Для каких цепей он используется?

14. Определить комплексную передаточную функцию разомкнутой цепи, изображенной на рис. 1.13. Исследуйте зависимость устойчивости цепи от величины коэффициента усиления К .

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Издательство ОмГТУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к практическим работам

Издательство ОмГТУ

Составитель Е. В. Шендалева , канд. техн. наук

Издание содержит методические указания к проведению практических работ по теории автоматического управления.

Предназначено для студентов специальности 200503, «Стандартизация и сертификация», изучающих дисциплину «Основы автоматического управления».

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

© ГОУ ВПО «Омский государственный

технический университет», 2011

Необходимость использования методологии теории управления для специалистов по стандартизации и сертификации возникает при определении:

1) количественных и (или) качественных характеристик свойств объекта испытаний как результата влияния на него при его функционировании, при моделировании объекта и (или) воздействий, закон изменения которых необходимо обеспечить с помощью системы автоматического управления;

2) динамических свойств объекта измерений и испытаний;

3) влияния динамических свойств средств измерений на результаты измерений и испытаний объекта.

Методы исследования объектов рассмотрены в практических работах.

Практическая работа 1

Динамические функции

Задание 1.1

Найти весовую функцию w (t ) по известной переходной функции

h (t ) = 2(1–e –0,2 t ).

Решение

w (t )=h ¢(t ), поэтому при дифференцировании исходного выражения

w (t )=0,4e –0,2t .

Задание 1.2

Найти передаточную функцию системы по дифференциальному уравнению 4y ¢¢(t ) + 2y ¢(t ) + 10y (t ) = 5x (t ). Начальные условия – нулевые.

Решение

Дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму делением на коэффициент при слагаемом y (t )

0,4y ¢¢(t ) + 0,2y ¢(t ) + y (t ) = 0,5x (t ).

Полученное уравнение преобразуют по Лапласу

0,4s 2 y (s ) + 0,2sy (s ) + y (s ) = 0,5x (s )

и затем записывают в виде передаточной функции:

где s = a + i w – оператор Лапласа.

Задание 1.3

Найти передаточную функцию W (s ) системы по известной весовой функции w (t )=5–t .

Решение

Преобразование Лапласа

. (1.1)

Используя связь между передаточной функцией и весовой функцией W (s ) = w (s ), получим

.

Преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.1), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

syms s t

x=5-t % временная функция

y=laplace(x) % функция, преобразованная по Лапласу.

Задание 1.4

По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию)

.

Решение

Обратное преобразование Лапласа

, (1.2)

где с – абсцисса сходимости x (s ).

По принципу суперпозиции, справедливому для линейных систем

h (t )=h 1 (t )+h 2 (t ),

где h (t ) – переходная функция всей системы;

h 1 (t ) – переходная функция интегрирующего звена

;

h 2 (t ) – переходная функция усилительного звена

.

Известно, что h 1 (t )=k 1 ×t , h 2 (t )=k 2 ×δ(t ), тогда h (t )= k 1 ×t +k 2 ×δ(t ).

Обратное преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.2), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

syms s k1 k2 % обозначение символьных переменных

y=k1/s+k2 % функция, преобразованная по Лапласу

x=ilaplace(y) % временная функция.

Задание 1.5

Найти амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику по известной передаточной функции системы

.

Решение

Для определения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) необходимо перейти от передаточной функции к амплитудно-фазовой характеристике W (i w), для чего изменить аргумент s → i w

.

Затем представить АФХ в виде W (i w)=P (w)+iQ (w), где P (w) – действительная часть, Q (w) – мнимая часть АФХ. Для получения действительной и мнимой части АФХ необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное выражению в знаменателе:

АЧХ и ФЧХ определяют соответственно по формулам

, ;

,

Амплитудно-фазовую характеристику W (j w) можно представить в виде

.

Задание 1.6

Определить сигнал y (t ) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы

x (t )=2sin10t ; .

Известно, что при воздействии входного сигнала x (t )=B sinwt на систему выходной сигнал y (t ) также будет гармоническим, но будет отличаться от входного амплитудой и фазой

y (t ) = B ×A (w)sin,

где A (w) – АЧХ системы; j(w) – ФЧХ системы.

По передаточной функции определим АЧХ и ФЧХ

j(w)=–arctg0,1w.

На частоте w = 10с –1 A (10) = 4/ = 2 и j(10) = –arctg1=–0,25p.

Тогда y (t ) = 2×2 sin(10t –0,25p) = 4 sin(10t –0,25p).

Контрольные вопросы :

1. Определите понятие весовой функции.

2. Определите понятие переходной функции.

3. С какой целью используют преобразование Лапласа при описании динамических звеньев?

4. Какие уравнения называют линейными дифференциальными?

5. С какой целью при переходе к уравнению в операторном виде исходное дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму?

6. Каким образом из знаменателя амплитудно-фазовой характеристики устраняют выражение с мнимым числом?

7. Укажите команду прямого преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.

8. Укажите команду обратного преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.

Практическая работа 2

Передаточные функции

Задание 2.1

Найти передаточную функцию системы по ее структурной схеме.

Решение

Основными способами соединения звеньев в структурных схемах являются: параллельное, последовательное и соединение звеньев с обратной связью (типовые участки звеньев).

Передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.1)

. (2.1)

Рис. 2.1. Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.2)

(2.2)

Рис. 2.2. Последовательное соединение звеньев

Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Соединение с обратной связью: а) положительной, б) отрицательной

Передаточная функция соединения с положительной обратной связью

, (2.3)

передаточная функция соединения с отрицательной обратной связью

. (2.4)

Определение передаточной функции сложной системы управления производят поэтапно. Для этого выделяют участки, содержащие последовательные, параллельные соединения и соединения с обратной связью (типовые участки звеньев) (рис. 2.4)

W 34 (s )=W 3 (s )+W 4 (s ); .

Рис. 2.4. Структурная схема системы управления

Затем выбранный типовой участок звеньев заменяют одним звеном с рассчитанной передаточной функцией и повторяют процедуру расчета (рис. 2.5 – 2.7).

Рис. 2.5. Замена параллельного соединения и соединения с обратной связью одним звеном

Рис. 2.6. Замена соединения с обратной связью одним звеном

Рис. 2.7. Замена последовательного соединения одним звеном

(2.5)

Задание 2.2

Определить передаточную функцию, если передаточные функции входящих в ее состав звеньев:

Решение

При подстановке в (2.5) передаточных функций звеньев

Преобразование структурной схемы относительно входного управляющего воздействия (рис. 2.7, 2.11) можно получить расчетным путем (2.5) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение (W 3 + W 4)

W25=feedback(W2,W5)

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

W12345=series(W134,W25) % последовательное соединение (W 134 ×W 25)

W=feedback(W12345,1)

Задание 2.3.

Найти передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему воздействию

Решение

Для того, чтобы определить передаточную функцию сложной системы по возмущающему воздействию необходимо упростить ее и рассмотреть относительно возмущающего входного воздействия (рис. 2.8 – 2.12).

Рис.2.8. Исходная структурная схема автоматической системы

Рис. 2.9. Упрощение структурной схемы

Рис. 2.10. Упрощенная структурная схема

Рис. 2.11. Структурная схема относительно входного управляющего воздействия

Рис. 2.12. Структурная схема системы относительно возмущающего воздействия

После приведения структурной схемы к одноконтурной передаточная функция по возмущающему воздействию f (t )

(2.6)

Преобразование структурной схемы относительно возмущающего воздействия (рис. 2.12) можно получить расчетным путем (2.6) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение

W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

Wf=feedback(W25,W134) % отрицательная обратная связь.

Задание 2. 4

Определить передаточную функцию замкнутой системы для ошибки.

Решение

Структурная схема для определения передаточной функции замкнутой системы для ошибки управления изображена на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Структурная схема системы относительно ошибки управления

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки

(2.7)

При подстановке числовых значений

Преобразование структурной схемы относительно сигнала ошибки управления (рис. 2.13) можно получить расчетным путем (2.7) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение)

W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

We=feedback(1,W134*W25) % отрицательная обратная связь

Контрольные вопросы :

1. Перечислите основные способы соединения звеньев в структурных схемах.

2. Определите передаточную функцию системы параллельно соединенных звеньев.

3. Определите передаточную функцию системы последовательно соединенных звеньев.

4. Определите передаточную функцию с положительной обратной связью.

5. Определите передаточную функцию с отрицательной обратной связью.

6. Определите передаточную функцию линии связи.

7. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух параллельно соединенных звеньев?

8. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев?

9. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция звена, охваченного обратной связью?

10. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по управляющему воздействию.

11. Напишите передаточную функцию по управляющему воздействию.

12. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по возмущающему параметру.

13. Напишите передаточную функцию по возмущающему параметру.

14. Изобразите структурную схему системы определения передаточной функции для ошибки управления.

15. Напишите передаточную функцию для ошибки управления.

Практическая работа 3

Разложение сложной передаточной функции