Движение тела по наклонной плоскости - это классический пример движения тела под действием нескольких несонаправленных сил. Стандартный метод решения задач о такого рода движении состоит в разложении векторов всех сил по компонентам, направленным вдоль координатных осей. Такие компоненты являются линейно независимыми. Это позволяет записать второй закон Ньютона для компонент вдоль каждой оси отдельно. Таким образом второй закон Ньютона, представляющий собой векторное уравнение, превращается в систему из двух (трех для трехмерного случая) алгебраических уравнений.
Силы, действующие на брусок,
случай ускоренного движения вниз
Рассмотрим тело, которое соскальзывает вниз по наклонной плоскости. В этом случае на него действуют следующие силы:
- Сила тяжести mg , направленная вертикально вниз;
- Сила реакции опоры N , направленная перпендикулярно плоскости;
- Сила трения скольжения F тр, направлена противоположно скорости (вверх вдоль наклонной плоскости при соскальзывании тела)
При решении задач, в которых фигурирует наклонная плоскость часто удобно ввести наклонную систему координат, ось OX которой направлена вдоль плоскости вниз. Это удобно, потому что в этом случае придется раскладывать на компоненты только один вектор - вектор силы тяжести mg
, а вектора силы трения F
тр и силы реакции опоры N
уже направлены вдоль осей. При таком разложении x-компонента силы тяжести равна mg
sin(α
) и соответствует «тянущей силе», ответственной за ускоренное движение вниз, а y-компонента - mg
cos(α
) = N
уравновешивает силу реакции опоры, поскольку вдоль оси OY движение тела отсутствует.
Сила трения скольжения F
тр = µN
пропорциональна силе реакции опоры. Это позволяет получить следующее выражение для силы трения: F
тр = µmg
cos(α
). Эта сила противонаправлена «тянущей» компоненте силы тяжести. Поэтому для тела, соскальзывающего вниз
, получаем выражения суммарной равнодействующей силы и ускорения:
F
x = mg
(sin(α
) – µ
cos(α
));
a
x = g
(sin(α
) – µ
cos(α
)).
Не трудно видеть, что если µ < tg(α ), то выражение имеет положительный знак и мы имеем дело с равноускоренным движением вниз по наклонной плоскости. Если же µ > tg(α ), то ускорение будет иметь отрицательный знак и движение будет равнозамедленным. Такое движение возможно только в случае, если телу придана начальная скорость по направлению вниз по склону. В этом случае тело будет постепенно останавливаться. Если при условии µ > tg(α ) предмет изначально покоится, то он не будет начинать соскальзывать вниз. Здесь сила трения покоя будет полностью компенсировать «тянущую» компоненту силы тяжести.
Когда коэффициент трения в точности равен тангенсу угла наклона плоскости: µ = tg(α ), мы имеем дела с взаимной компенсацией всех трех сил. В этом случае, согласно первому закону Ньютона тело может либо покоиться, либо двигаться с постоянной скоростью (При этом равномерное движение возможно только вниз).
Силы, действующие на брусок,
скользящий по наклонной плоскости:
случай замедленного движения вверх
Однако, тело может и заезжать вверх по наклонной плоскости. Примером такого движения является движение хоккейной шайбы вверх по ледяной горке. Когда тело движется вверх, то и сила трения и «тянущая» компонента силы тяжести направлены вниз вдоль наклонной плоскости. В этом случае мы всегда имеем дело с равнозамедленным движением, поскольку суммарная сила направлена в противоположную скорости сторону. Выражение для ускорения для этой ситуации получается аналогичным образом и отличается только знаком. Итак для тела, скользящего вверх по наклонной плоскости , имеем.
В данной статье рассказывается о том, как решать задачи про движение по наклонной плоскости. Рассмотрено подробное решение задачи о движении связанных тел по наклонной плоскости из ЕГЭ по физике.
Решение задачи о движении по наклонной плоскости
Прежде чем перейти непосредственно к решению задачи, как репетитор по математике и физике, рекомендую тщательно проанализировать ее условие. Начать нужно с изображения сил, которые действуют на связанные тела:
Здесь и — силы натяжения нити, действующие на левое и правое тело, соответственно, — сила реакции опоры, действующая на левое тело, и — силы тяжести, действующие на левое и правое тело, соответственно. С направлением этих сил все понятно. Сила натяжения направлена вдоль нити, сила тяжести вертикально вниз, а сила реакции опоры перпендикулярно наклонной плоскости.
А вот с направлением силы трения придется разбираться отдельно. Поэтому на рисунке она изображена пунктирной линией и подписана со знаком вопроса. Интуитивно понятно, что если правый груз будет «перевешивать» левый, то сила трения будет направлена противоположно вектору . Наоборот, если левый груз будет «перевешивать» правый, то сила трения будет сонаправлена с вектором .
Правый груз тянет вниз сила Н. Здесь мы взяли ускорение свободного падения м/с 2 . Левый груз вниз тоже тянет сила тяжести, но не вся целиком, а только ее «часть», поскольку груз лежит на наклонной плоскости. Эта «часть» равна проекции силы тяжести на наклонную плоскости, то есть катету в прямоугольном треугольнике , изображенном на рисунке, то есть равна Н.
То есть «перевешивает» все-таки правый груз. Следовательно, сила трения направлена так, как показано на рисунке (мы ее нарисовали от центра масс тела, что возможно в случае, когда тело можно моделировать материальной точкой):
Второй важный вопрос, с которым нужно разобраться, будет ли вообще двигаться эта связанная система? Вдруг окажется так, что сила трения между левым грузом и наклонной плоскостью будет настолько велика, что не даст ему сдвинуться с места?
Такая ситуация будет возможна в том случае, когда максимальная сила трения, модуль которой определяется по формуле (здесь — коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью, — сила реакции опоры, действующая на груз со стороны наклонной плоскости), окажется больше той силы, которая старается привести систему с движение. То есть той самой «перевешивающей» силы, которая равна Н.
Модуль силы реакции опоры равен длине катета в треугольнике по 3-музакону Ньютона (с какой по величине силой груз давит на наклонную плоскость, с такой же по величине силой наклонная плоскость действует на груз). То есть сила реакции опоры равна Н. Тогда максимальная величина силы трения составляет Н, что меньше, чем величина «перевешивающей силы».
Следовательно, система будет двигаться, причем двигаться с ускорением. Изобразим на рисунке эти ускорения и оси координат, которые нам понадобятся далее при решении задачи:
Теперь, после тщательного анализа условия задачи, мы готовы приступить к ее решению.
Запишем 2-ой закон Ньютона для левого тела:
А в проекции на оси координатной системы получаем:
Здесь с минусом взяты проекции, векторы которых направлен против направления соответствующей оси координат. С плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлен с соответствующей осью координат.
Еще раз подробно объясним, как находить проекции и . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник , изображенный на рисунке. В этом треугольнике 
и 
. Также известно, что в этом прямоугольном треугольнике . Тогда и .
Вектор ускорения целиком лежит на оси , поэтому и . Как мы уже вспоминали выше, по определению модуль силы трения равен произведению коэффициента трения на модуль силы реакции опоры. Следовательно, . Тогда исходная система уравнений принимает вид:
Запишем теперь 2-ой закон Ньютона для правого тела:
В проекции на ось получаем.
В нашем случае F н = m·g , т.к. поверхность горизонтальна. Но, нормальная сила по величине не всегда совпадает с силой тяжести.
Нормальная сила - сила взаимодействия поверхностей соприкасающихся тел, чем она больше - тем сильнее трение.
Нормальная сила и сила трения пропорциональны друг другу:
F тр = μF н
0 < μ < 1 - коэффициент трения, который характеризует шероховатость поверхностей.
При μ=0 трение отсутствует (идеализированный случай)
При μ=1 максимальная сила трения, равна нормальной силе.
Сила трения не зависит от площади соприкосновения двух поверхностей (если их массы не изменяются).
Обратите внимание: уравнение F тр = μF н не является соотношением между векторами, поскольку они направлены в разные стороны: нормальная сила перпендикулярна поверхности, а сила трения - параллельна.
1. Разновидности трения
Трение бывает двух видов: статическое и кинетическое .
Статическое трение (трение покоя ) действует между соприкасающимися телами, находящимися в покое друг относительно друга. Статическое трение проявляется на микроскопическом уровне.
Кинетическое трение (трение скольжения ) действует между соприкасающимися и движущимися друг относительно друга телами. Кинетическое трение проявляется на макроскопическом уровне.
Статическое трение больше кинетического для одних и тех же тел, или коэффициент трения покоя больше коэффициент трения скольжения.
Наверняка вам это известно из личного опыта: шкаф очень трудно сдвинуть с места, но поддерживать движение шкафа гораздо легче. Это объясняется тем, что при движении поверхности тел "не успевают" перейти на соприкосновения на микроскопическом уровне.
Задача №1: какая сила потребуется для поднятия шара массой 1 кг по наклонной плоскости, расположенной под углом α=30° к горизонту. Коэффициент трения μ = 0,1
Вычисляем составляющую силы тяжести. Для начала нам надо узнать угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести. Подобную процедуру мы уже делали, рассматривая гравитацию. Но, повторение - мать учения:)
Сила тяжести направлена вертикально вниз. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник, образованный тремя силами: вектором силы тяжести; наклонной плоскостью; основанием плоскости (на рисунке он выделен красным цветом).
Угол между вектором силы тяжести и основанием плоскость равен 90°.
Угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α
Поэтому, оставшийся угол - угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести:
180° - 90° - α = 90° - α
Составляющие силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g накл = F g cos(90° - α) = mgsinα
Необходимая сила для поднятия шара:
F = F g накл + F трения = mgsinα + F трения
Необходимо определить силу трения F тр . С учетом коэффициента трения покоя:
F трения = μF норм
Вычисляем нормальную силу F норм , которая равна составляющей силы тяжести, перпендикулярно направленной к наклонной плоскости. Мы уже знаем, что угол между вектором силы тяжести и наклонной плоскостью равен 90° - α.
F норм = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° + 0,1·1·9,8·cos30° = 4,9 + 0,85 = 5,75 Н
Нам потребуется к шару приложить силу в 5,75 Н для того, чтобы закатить его на вершину наклонной плоскости.
Задача №2: определить как далеко прокатится шар массой m = 1 кг по горизонтальной плоскости, скатившись по наклонной плоскости длиной 10 метров при коэффициенте трения скольжения μ = 0,05
Силы, действующие на скатывающийся шар, приведены на рисунке.
Составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g cos(90° - α) = mgsinα
Нормальная сила:
F н = mgsin(90° - α) = mgcos(90° - α)
Сила трения скольжения:
F трения = μF н = μmgsin(90° - α) = μmgcosα
Результирующая сила:
F = F g - F трения = mgsinα - μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° - 0,05·1·9,8·0,87 = 4,5 Н
F = ma; a = F/m = 4,5/1 = 4,5 м/с 2
Определяем скорость шара в конце наклонной плоскости:
V 2 = 2as; V = &38730;2as = &38730;2·4,5·10 = 9,5 м/с
Шар заканчивает движение по наклонной плоскости и начинает движение по горизонтальной прямой со скоростью 9,5 м/с. Теперь в горизонтальном направлении на шар действует только сила трения, а составляющая силы тяжести равна нулю.
Суммарная сила:
F = μF н = μF g = μmg = 0,05·1·9,8 = -0,49 Н
Знак минус означает, что сила направлена в противоположную сторону от движения. Определяем ускорение замедления шара:
a = F/m = -0,49/1 = -0,49 м/с 2
Тормозной путь шара:
V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a
Поскольку мы определяем путь шара до полной остановки, то V 1 =0 :
s = (-V 0 2)/2a = (-9,5 2)/2·(-0,49) = 92 м
Наш шарик прокатился по прямой целых 92 метра!
Динамика и кинематика - это два важных раздела физики, которые изучают законы перемещения объектов в пространстве. Первый рассматривает действующие на тело силы, второй же занимается непосредственно характеристиками динамического процесса, не вникая в причины того, что его вызвало. Знание этих разделов физики необходимо применять для успешного решения задач на движение по наклонной плоскости. Рассмотрим этот вопрос в статье.
Основная формула динамики
Конечно же, речь идет о втором законе, который постулировал Исаак Ньютон в XVII веке, изучая механическое движение твердых тел. Запишем его в математической форме:
Действие внешней силы F¯ вызывает появление линейного ускорения a¯ у тела с массой m. Обе векторные величины (F¯ и a¯) направлены в одну и ту же сторону. Сила в формуле является результатом действия на тело всех сил, которые присутствуют в системе.
В случае движения вращения второй закон Ньютона записывается в виде:
Здесь M и I - и инерции, соответственно, α - угловое ускорение.
Формулы кинематики
Решение задач на движение по наклонной плоскости требует знания не только главной формулы динамики, но и соответствующих выражений кинематики. Они связывают в равенства ускорение, скорость и пройденный путь. Для равноускоренного (равнозамедленного) прямолинейного движения применяются следующие формулы:
S = v 0 *t ± a*t 2 /2
Здесь v 0 - значение начальной скорости тела, S - пройденный за время t путь вдоль прямолинейной траектории. Знак "+" следует поставить, если скорость тела увеличивается с течением времени. В противном случае (равнозамедленное движение) следует использовать в формулах знак "-". Это важный момент.
Если движение осуществляется по круговой траектории (вращение вокруг оси), тогда следует использовать такие формулы:
ω = ω 0 ± α*t;
θ = ω 0 *t ± α*t 2 /2
Здесь α и ω - и скорость, соответственно, θ - угол поворота вращающегося тела за время t.
Линейные и угловые характеристики друг с другом связаны формулами:
Здесь r - радиус вращения.
Движение по наклонной плоскости: силы
Под этим движением понимают перемещение некоторого объекта вдоль плоской поверхности, которая наклонена под определенным углом к горизонту. Примерами может служить соскальзывание бруска по доске или качение цилиндра по металлическому наклоненному листу.
Для определения характеристик рассматриваемого типа движения необходимо в первую очередь найти все силы, которые действуют на тело (брусок, цилиндр). Они могут быть разными. В общем случае это могут быть следующие силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- и/или скольжения;
- натяжение нити;
- сила внешней тяги.
Первые три из них присутствуют всегда. Существование последних двух зависит от конкретной системы физических тел.
Чтобы решать задачи на перемещение по плоскости наклонной необходимо знать не только модули сил, но и их направления действия. В случае, если тело по плоскости скатывается, сила трения неизвестна. Однако она определяется из соответствующей системы уравнений движения.
Методика решения
Решения задач данного типа начинается с определения сил и их направлений действия. Для этого в первую очередь рассматривают силу тяжести. Ее следует разложить на два составляющих вектора. Один из них должен быть направлен вдоль поверхности наклонной плоскости, а второй должен быть ей перпендикулярен. Первая составляющая силы тяжести, в случае движения тела вниз, обеспечивает его линейное ускорение. Это происходит в любом случае. Вторая равна Все эти показатели могут иметь различные параметры.
Сила трения при движении по наклонной плоскости всегда направлена против перемещения тела. Если речь идет о скольжении, то вычисления довольно просты. Для этого следует использовать формулу:
Где N - реакция опоры, µ - коэффициент трения, не имеющий размерности.
Если в системе присутствуют только указанные три силы, тогда их результирующая вдоль наклонной плоскости будет равна:
F = m*g*sin(φ) - µ*m*g*cos(φ) = m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a
Здесь φ - это угол наклона плоскости к горизонту.
Зная силу F, можно по закону Ньютона определить линейное ускорение a. Последнее, в свою очередь, используется для определения скорости движения по наклонной плоскости через известный промежуток времени и пройденного телом расстояния. Если вникнуть, то можно понять, что все не так уж и сложно.
В случае, когда тело скатывается по наклонной плоскости без проскальзывания, суммарная сила F будет равна:
F = m*g*sin(φ) - F r = m*a
Где F r - Она неизвестна. Когда тело катится, то сила тяжести не создает момента, поскольку приложена к оси вращения. В свою очередь, F r создает следующий момент:
Учитывая, что мы имеем два уравнения и две неизвестных (α и a связаны друг с другом), можно легко решить эту систему, а значит, и задачу.
Теперь рассмотрим, как использовать описанную методику при решении конкретных задач.
Задача на движение бруска по наклонной плоскости
Деревянный брусок находится в верхней части наклонной плоскости. Известно, что она имеет длину 1 метр и располагается под углом 45 o . Необходимо вычислить, за какое время брусок опустится по этой плоскости в результате скольжения. Коэффициент трения принять равным 0,4.
Записываем закон Ньютона для данной физической системы и вычисляем значение линейного ускорения:
m*g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) = m*a =>
a = g*(sin(φ) - µ*cos(φ)) ≈ 4,162 м/с 2
Поскольку нам известно расстояние, которое должен пройти брусок, то можно записать следующую формулу для пути при равноускоренном движении без начальной скорости:
Откуда следует выразить время, и подставить известные значения:
t = √(2*S/a) = √(2*1/4,162) ≈ 0,7 с
Таким образом, время движения по наклонной плоскости бруска составит меньше секунды. Заметим, что полученный результат от массы тела не зависит.
Задача со скатывающимся по плоскости цилиндром
Цилиндр радиусом 20 см и массой 1 кг помещен на наклонную под углом 30 o плоскость. Следует вычислить его максимальную линейную скорость, которую он наберет при скатывании с плоскости, если ее длина составляет 1,5 метра.
Запишем соответствующие уравнения:
m*g*sin(φ) - F r = m*a;
F r *r = I*α = I*a/r
Момент инерции I цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим это значение во вторую формулу, выразим из нее силу трения F r и заменим полученным выражением ее в первом уравнении, имеем:
F r *r = 1/2*m*r 2 *a/r = >
m*g*sin(φ) - 1/2*m*a = m*a =>
a = 2/3*g*sin(φ)
Мы получили, что линейное ускорение не зависит от радиуса и массы скатывающегося с плоскости тела.
Зная, что длина плоскости составляет 1,5 метра, найдем время движения тела:
Тогда максимальная скорость движения по наклонной плоскости цилиндра будет равна:
v = a*t = a*√(2*S/a) = √(2*S*a) = √(4/3*S*g*sin(φ))
Подставляем все известные из условия задачи величины в конечную формулу, получаем ответ: v ≈ 3,132 м/c.
Букина Марина, 9 В
Движение тела по наклонной плоскости
с переходом на горизонтальную
В качестве исследуемого тела я взяла монету достоинством 10 рублей (грани ребристые).
Технические характеристики:
Диаметр монеты – 27,0 мм;
Масса монеты - 8,7 г;
Толщина - 4 мм;
Монета изготовлена из сплава латунь-мельхиор.
За наклонную плоскость я решила принять книгу длиной 27 см. Она и будет являться наклонной плоскостью. Горизонтальная же плоскость неограниченная, т. к. цилиндрическое тело, а в дальнейшем монета, скатываясь с книги, будет продолжать свое движение на полу (паркетная доска). Книга поднята на высоту 12 см от пола; угол между вертикальной плоскостью и горизонтальной равен 22 градусам.
В качестве дополнительного оборудования для измерений были взяты: секундомер, линейка обыкновенная, длинная нить, транспортир, калькулятор.
На Рис.1. схематичное изображение монеты на наклонной плоскости.
Выполним пуск монеты.
Полученные результаты занесем в таблицу 1
вид плоскости | ||||
наклонная плоскость | ||||
горизонтальная плоскость | ||||
*0,27 м величина постоянная tобщ=90,04 |
Таблица 1
Траектория движения монеты во всех опытах была различна, но некоторые части траектории были похожи. По наклонной плоскости монета двигалась прямолинейно, а при движении на горизонтальной плоскости – криволинейно.
На Рисунке 2 изображены силы, действующие на монету во время её движения по наклонной плоскости:
С помощью II Закона Ньютона выведем формулу для нахождения ускорения монеты (по Рис.2.):
Для начала, запишем формулу II Закона Ньютона в векторном виде.
Где - ускорение, с которым движется тело, - равнодействующая сила (силы, действующие на тело), https://pandia.ru/text/78/519/images/image008_3.gif" width="164" height="53">, на наше тело во время движения действуют три силы: сила тяжести (Fтяж), сила трения (Fтр) и сила реакции опоры (N);
Избавимся от векторов, при помощи проецирования на оси X и Y:
Где - коэффициент трения
Т. к. у нас нет данных о числовом значении коэффициента трения монеты о нашу плоскость, воспользуемся другой формулой:
Где S – путь, пройденный телом, V0- начальная скорость тела, а – ускорение, с которым двигалось тело, t – промежуток времени движения тела.
т. к. 
,
в ходе математических преобразований получаем следующую формулу:
При проецировании этих сил на ось Х (Рис.2.) видно, что направления векторов пути и ускорения совпадают, запишем полученную форму, избавившись от векторов:
За S и t примем средние значения из таблицы, найдем ускорение и скорость (по наклонной плоскости тело двигалось прямолинейно равноускоренно).
https://pandia.ru/text/78/519/images/image021_1.gif" align="left" width="144" height="21">
Аналогично найдём ускорение тела на горизонтальной плоскости (по горизонтальной плоскости тело двигалось прямолинейно равнозамедленно)
R=1, 35 см, где R – радиус монеты
где - угловая скорость, -центростремительное ускорение, - частота обращения тела по окружности
Движение тела по наклонной плоскости с переходом на горизонтальную – прямолинейное равноускоренное, сложное, которое можно разделить на вращательное и поступательное движения.
Движение тела на наклонной плоскости является прямолинейным равноускоренным.
По II Закону Ньютона видно, что ускорение зависит только от равнодействующей силы (R), а она на протяжении всего пути по наклонной плоскости остается величиной постоянной, т. к. в конечной формуле, после проецирования II Закона Ньютона, величины, задействованные в формуле являются постоянными https://pandia.ru/text/78/519/images/image029_1.gif" width="15" height="17">поворота из некоторого начального положения.
Поступательным называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Все точки тела, движущегося поступательно, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения, а их траектории полностью совмещаются при параллельном переносе.
Факторы, влияющие на время движения тела
по наклонной плоскости
с переходом на горизонтальную
Зависимость времени от монет разного достоинства (т. е. имеющих разный d (диаметр)).
Достоинство монеты | d монеты, см | tср, с |
||
Таблица 2
Чем больше диаметр монеты, тем больше время её движения.
Зависимость времени от угла наклона
Угол наклона | tср, с |
||
