, где
.
Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.
Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.
Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .
Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.
Сумма ряда Фурье S (x ):
- является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
- на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
- в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l ;l ):
.
Если f
(x
) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n
=0.
Если f
(x
) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n
=0
Рядом Фурье
функции f
(x
) на интервале (0;l
) по косинусам кратных дуг
называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье
функции f
(x
) на интервале (0;l
) по синусам кратных дуг
называется ряд:
, где 
.
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l
, совпадающей с f
(x
) на интервале (0;l
) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l
, совпадающей с f
(x
) на интервале (0;l
) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.
Пример №1
. Разложить функцию f
(x
)=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале
(-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале
(0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение
:
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n
=0, т.к. данная функция – четная; таким образом,
Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а
0 =2, а
1 =а
2 =а
3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: 
или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:
Таким образом, для четных n
(n
=2k
) имеем b n
=0, для нечетных (n
=2k
-1) - 
Окончательно, 
.
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:
Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:
И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:
Пример №2
. Разложить функцию 
на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение
: Искомое разложение имеет вид:
Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n
(натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n
=18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b
18 =1;
или , откуда n
=4. Значит, b
4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:
Как вставить математические формулы на сайт?
Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.
Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.
Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.
Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.
Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.
Функция , определённая при всех значениях x называется периодической , если существует такое число T (T≠ 0) , что при любом значении x выполняется равенство f(x + T) = f(x) . Число T в этом случае является периодом функции.
Свойства периодических функций :
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) имеет период Т ,то функция f(ax) имеет период
В самом деле, для любого аргумента х :
(умножение аргумента на число означает сжатие или растяжение графика этой функции вдоль оси ОХ )
Например, функция имеет период , периодом функции является
3) Если f(x) периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т (при этом предполагается, что эти интегралы существуют).
Ряд Фурье для функции с периодом T= .
Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или, короче,
Где , , , , , … , , , … - действительные числа, называемые коэффициентами ряда.
Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода (т.к. - имеет любой
период, а период () равен , а значит, и ). Каждое слагаемое (), при n= 1,2,3… является аналитическим выражением простого гармонического колебания , где A - амплитуда,
Начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода , то он сходится на всей числовой оси и его сумма является периодической функцией периода .
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна . Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:
А так же воспользуемся следующими свойствами.
1) Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке ряда, составленного из непрерывных функций, сама является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке тригонометрического ряда - непрерывная функция на всей числовой оси.
2) Равномерная сходимость ряда на отрезке не нарушится, если все члены ряда умножить на функцию , непрерывную на этом отрезке.
В частности, равномерная сходимость на отрезке данного тригонометрического ряда не нарушится, если все члены ряда умножить на или на .
По условию
В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (4.2) и учитывая вышеприведенные равенства (4.1) (ортогональность тригонометрических функций), получим:
Следовательно, коэффициент
Умножая равенство (4.2) на , интегрируя это равенство в пределах от до и, учитывая вышеприведенные выражения (4.1), получим:
Следовательно, коэффициент
Аналогично, умножая равенство (4.2) на и интегрируя его в пределах от до , с учетом равенств (4.1) имеем:
Следовательно, коэффициент
Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда Фурье:
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Напомним, что точку x o разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f(x) в окрестности точки.
Предел справа,
Предел слева.
Теорема (Дирихле). Если функция f(x) имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и, кроме того, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях x . Причём в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x) , а в точках разрыва функции f(x) его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье для функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x) .
Пример : разложить в ряд Фурье функцию
Удовлетворяющую условию .
Решение. Функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:
В соответствии с формулами (4.3) , можно получить следующие значения коэффициентов ряда Фурье:
При вычислении коэффициентов ряда Фурье использовалась формула «интегрирования по частям».
И, следовательно,
Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T = .
Используем следующее свойство интеграла по симметричному относительно x=0 промежутку:
Если f(x) - нечётная функция,
если f(x) - чётная функция.
Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций - чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную функцию - нечётная функция. Пусть теперь f(x) - чётная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя вышеуказанное свойство интегралов, получим:
Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции - косинусы и записывается так:
а коэффициенты bn = 0.
Рассуждая аналогично, получаем, что если f(x) - нечётная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то, следовательно, ряд Фурье для функции нечётной содержит только нечётные функции - синусы и записывается следующим образом:
при этом an =0 при n= 0, 1,…
Пример: разложить в ряд Фурье периодическую функцию
Так как заданная нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то
или, что то же,
И ряд Фурье для данной функции f(x) можнозаписать так:
Ряды Фурье для функций любого периода T=2l .
Пусть f(x) - периодическая функция любого периода T=2l (l- полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [-l, l ]. Полагая x=at, получим функцию f(at) аргумента t, период которой равен . Подберём а так, чтобы период функции f(at) был равен , т.е. T = 2l
Решение. Функция f(x) - нечётная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании формул (4.12) и (4.13) имеем:
(при вычислении интеграла использовали формулу «интегрирования по частям»).
Деловая игра - это имитация реальной производственной (управленческой или экономической) ситуации. Создание упрощенной модели рабочего процесса позволяет каждому участнику в реальной жизни, но в рамках определенных правил, сыграть какую-либо роль, принять решение, совершить действия.
Метод деловой игрыДеловые игры (ДИ) являются эффективным методом практического обучения и применяются довольно широко. Они используются как средство познания в менеджменте, экономике, экологии, медицине и других областях.
Активно применяться в мире для изучения науки управления ДИ стали с середины XX века. Весомый вклад в развитие игровых технологий привнесли С.П. Рубинштейн, З. Фрейд и другие ученые.
Данный метод позволяет смоделировать объект (организацию) или сымитировать процесс (принятие решений, цикл менеджмента). Производственно-хозяйственные ситуации связаны с подчинением вышестоящим, а организационно-управленческие с руководством отделом, группой, сотрудником.
Перед игроками можно поставить разные цели, для достижения которых они используют знания основ социологии, экономики, методов управления. Итоги игры будут связаны со степенью достижения целей и качеством управления.
Классификация деловых игрДИ можно классифицировать по многим признакам.
Отражение реальности | Реальные (практика) | Теоретические (абстрактные) |
|
Уровень сложности | Небольшой (одна задача, небольшая команда игроков) | «Морской бой», «Аукцион», «Кроссворд», «Кто больше знает», «Презентация» |
|
Имитационная игра | Имитация практики. Участники вместе или индивидуально решают задачу. | «Этика менеджера», «Сплетни на фирме», «Как удержать сотрудника от увольнения?», «Шантаж» |
|
Инновационная | Направлена на генерацию новых идей в нестандартной ситуации. | Тренинги по самоорганизации, мозговой штурм |
|
Стратегическая | Коллективное создание картины будущего развития ситуации. | «Создание нового продукта», «Выход на новые рынки» |
|
Все вышеперечисленные технологии и примеры деловых игр взаимосвязаны. Рекомендуется использовать их в комплексе для эффективной практической деятельности участников и достижения поставленных задач.
Игры осуществляется по определенным правилам.
Проведение деловой игры может быть связано с большим количеством этапов. В ходе проведения игры участникам предстоит определить проблему, рассмотреть и проанализировать ситуацию, выработать предложения по решению проблемы. Завершают работу обсуждение хода игры и пожелания.
В управлении производством моделирует активная деловая игра по менеджменту. Пример включает в себя характеристику и сценарий деловой игры «Производственное совещание». Проводится в конце курса «Менеджмент», когда студенты уже имеют представление о принципах управления и роли процесса производства.
Участники игры:
- сотрудники предприятия (7 человек). В совещании участвуют директор, заместитель по производству, начальник технического отдела, начальник цеха сборки, начальник токарного цеха, бригадир, секретарь;
- группа экспертов (10 человек).
Паровозоремонтный или машиностроительный завод (организация любого профиля со средней или небольшой численностью персонала). Владельцами предприятия не так давно был поставлен новый директор. Он был представлен коллективу и менеджерам завода. Директору предстоит провести оперативное совещание впервые.
План игры «Производственное совещание»Сценарий деловой игры |
|
Вводная часть | Вступление. Цели и тема игры. |
Игровая ситуация | Ознакомление с ситуацией на фирме. |
План подготовки к совещанию |
|
|
|
Совещание | Выступление директора, реакция и вопросы от начальников. |
Дискуссия и коллективное обсуждение вопросов. | Каким будет поведение директора на совещании? Что он может сказать или сделать для налаживания деловых контактов с сотрудниками? Какие он может принять при подведении итогов первого оперативного совещания? |
Подведение итогов | Выводы от экспертов, от участников игры. Самооценка. Решили ли поставленные задачи, достигли ли целей? |
Вхождение в производственную ситуацию в определенной роли - это интересная деловая игра. Примеры для студентов могут быть самыми разнообразными. Стоит только подключить фантазию.
Стратегическая игра «Трикотажная фабрика «Стиль»». Руководство трикотажной фабрики планирует расширение рынков сбыта. Для этого требуется производить более качественную и востребованную продукцию. Кроме того, планируется запустить несколько новых технологических линий.
Уже давно планировалось заменить оборудование в нескольких цехах. Проблемой стал недостаток финансовых ресурсов, связанный с крупной дебиторской задолженностью. Какая стратегия является приемлемой в данной ситуации? Что может предпринять руководство завода? Прогноз на основе данных таблицы. Несколько показателей финансово-хозяйственной деятельности рекомендуется представить за три года.
Примеры деловых игр |
|
Групповая дискуссия | «Принятие управленческих решений. Выбор кандидатуры на должность директора» «Организационная культура студентов колледжа» «Цикл менеджмента в учебном заведении» |
Ролевая игра | «Аттестация персонала» «Как попросить прибавку к зарплате?» «Переговоры по телефону» «Заключение контракта» |
Эмоционально-деятельностная игра | «Этика делового общения. Служебный роман» «Конфликт между начальниками отделов» «Деловое общение. Увольнение сотрудника» «Справиться со стрессом» |
Имитационная игра | «Эффективность контроля» «Разработка бизнес-плана» «Деловое письмо» «Подготовка годового отчета» |
При планировании деловой игры рекомендуется сочетать разные ее формы. Игра может содержать кейсы (ситуации). Кейс-метод отличается от метода деловых игр, так как он ориентирован на поиск и решение проблемы. Примеры деловых игр связаны с развитием умений, формированием навыков.
Таким образом, кейс - это модель определенной ситуации, а деловая игра - модель практической деятельности.
Метод деловой игры позволяет доступно преподнести принципы менеджмента и процессы принятия решений. Основным преимуществом игр становится активное участие группы, команды игроков.
