Решение заданий в8. I

Цели:

• Обучающие : повторить основные формулы и правила дифференцирования, геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия; проверить знания, умения, навыки учащихся по данной теме при подготовке к ЕГЭ.
• Развивающие : содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений самооценки.
• Воспитательные : содействовать стремлению к непрерывному совершенствованию своих знаний

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.

Тип урока: систематизация и обобщения.
Объем знаний: два урока (90 мин.)
Ожидаемый результат: обучающие используют полученные знания в практическом применении, развивая при этом коммуникативные, творческие и поисковые навыки, умение анализировать полученное задание.

Структура урока:

1. Орг. Момент, актуализация знаний, необходимых для решения практических заданий из материалов ЕГЭ.
2. Практическая часть (проверка знаний учащихся).
3. Рефлексия, творческое домашнее задание

Ход консультации

I. Организационный момент.

Сообщение темы урока, цели урока, мотивация учебной деятельности (через создания проблемной теоретической базы знаний).

II. Актуализация субъективного опыта учащихся, их знаний.

Повторить правила и определения.

1) если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

2) если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

• Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.
• Достаточный признак возрастания, убывания функции .
• Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).
• Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а;в] , если дан график производной функции:

Если производная на отрезке положительна,то а-наименьшее значение,в-наибольшее значение.

Если производная на отрезке отрицательна, то а-наибольшее, в- наименьшее значение.

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой x0 можно провести касательную, непараллельную оси у, то f "(x0) выражает угловой коэффициент касательной: κ = f "(x0). Поскольку κ = tgα, то верно равенство f "(x0) = tgα

Рассмотрим три случая:

1. Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ острый угол, т.е. α < 90º. Производная положительная.
2. Касательная образовала с осью ОХ тупой угол, т.е. α > 90º. Производная отрицательная.
3. Касательная параллельна оси ОХ. Производная равна нулю.

Задание 1. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой -1. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = -1

Решение:а) Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ тупой угол. По формуле приведения найдем тангенс этого угла tg(180º - α) = - tgα. Значит f "(х) = - tgα. Из изученного ранее знаем, что тангенс равен отношению катета противолежащего к прилежащему.

Для этого строим прямоугольный треугольник так, чтобы вершины треугольника находились в вершинах клеток. Считаем клетки противолежащего катета и прилежащего. Делим противолежащий катет на прилежащий.(Слайд 44)

б) Касательная, проведенная к графику функции, образовала с осью ОХ острый угол.

f "(x)= tgα.Ответ будет положительным.(Слайд 30)

Задание 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 13). Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение: f "(х) < 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Практическая часть.
35 мин. Подготовленные слайды требуют теоретических знаний по теме урока. Цель составленных слайдов состоит в том, чтобы учащиеся смогли совершенствовать и практически применять знания.
С помощью слайдов проводится:
- фронтальный опрос (учитываются индивидуальные особенности учащихся);
- выясняется информационная формулировка главных понятий, свойств, определений;
- алгоритм решения заданий. Учащиеся должны дать ответы по слайдам.

IV. Индивидуальная работа. Решение задач по слайдам.

V. Подведение итогов урока, рефлексия.

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке функция имеет две точки максимума x = 4 и x = 4. Ответ: 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке .

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (9; 6) длиной 3 и интервалу (2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (7; 5), (2; 5). Наибольший из них интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке . Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках 13, 11, 9, 7. На отрезке функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. По свойствам касательной, формула касательной к функции f(x) в точке x 0 равна y=f (x 0) x+b, b=const По рисунку видно, что касательная к функции f(x) в точке x 0 проходит через точки (-3;2), (5,4). Следовательно, можно составить систему уравнений

Источники

Индивидуальные занятия по SKYPE по эффективной онлайн подготовке к ЕГЭ по математике.

Задания типа В8 — это задачи на приложение производных функций. Цели в заданиях:

• найти производную в определенной точке
• определить экстремумы функции, точки maximum и minimum
• промежутки возрастания и убывания

Рассмотрим несколько примеров. Задание в8 .1: на рисунке изображен график функции y=f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции y=f (x) в точке х0.

Немного теории. Если касательная возрастающая, то производная будет положительной, а если касательная убывающая, то производная отрицательная. Производная функции y’= tgА, где А -угол наклона касательной к оси Х

Решение : в нашем примере касательная -возрастающая, значит производная будет положительной. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС и найдем из него tg А= ВС/АВ, где ВС-катет-расстояние между характерными точками по оси у, АВ- катет- расстояние между точками по оси х. Характерные точки на графике выделены жирными точками и обозначены буквами А и С. Характерные точки должны быть явными и целыми. Из графика видно, что АВ= 5+3=8, а вс=3-1=2,

tgα= ВС/АВ=2/8=1/4=0,25 , отсюда производная у’=0,25

Ответ : 0,25

Задание В8 .2 На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (-9;4). Найдите сумму абсцисс точек экстремума функций f(x)

Решение : Для начала определимся, что такое точки экстремума? Это такие точки, в которых производная меняет свой знак на противоположный, проще говоря все »горки» и «впадины» . В нашем примере имеем 4 «горки» и 4 «впадины».Снесем все «ландшафтные» точки на ось Х и найдем значение абсцисс,теперь сложим все значение этих точек по оси Х

получим -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Ответ : -21

посмотреть видеоурок решения этого задания

Решение заданий В8по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 годаПрямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х2+8х + 6. Найдите абсциссу точки касания.№1Решение:Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее хо), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке хо: k = f ′(xo) = 4Производная функции f′(x) = (х2+8х + 6)′= 2x +8. Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo+ 8 = 4, откуда хо = – 2. Ответ: – 2.Прямая у = 3х + 11является касательной к графику

функции у = x3−3x2− 6x + 6.

Найдите абсциссу точки касания.

№2Решение:Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх2 − 6х − 6 = 3, то есть Зх2 − 6х − 9 = 0 или х2 − 2х − 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х3 − Зх2 − 6х + 6имеет угловой коэффициент, равный 3. Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке −1равно у(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, а значение в точке 3 равно у(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Заметим, что точка с координатами (−1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8= −3 + 11. А вот точка (3; −12) уравнению касательнойне удовлетворяет, так как −12 ≠ 9 + 11. Значит, искомая абсцисса точки касания равна −1. Ответ: −1.На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение.№3Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правомконце отрезка, то есть в точке –4.у = f ′(x) f(x) –Ответ:–4.На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8).Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку[– 6; 6].№4Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+».у = f ′(x) ++––Ответ: 3.На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).№5.Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке хо = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале. у = f ′(x) +–Ответ: 4.На рисунке изображен график у = f ′(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней.№6Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x+ 2или совпадает с ней, то ее угловой коэффициентk =–2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f ′(x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4. у = f ′(x) у = –2Ответ: 4.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.№7уРешение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x)убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции.Таких точек 6:х = −4, х = −3, х = −2, х = −1, х = 0, х = 3.у = f(x) х–6–45–1–20–33Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 6).Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = –5. №8уРешение: Прямая у = −5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f′(х)= 0.В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6.1у = f(x) х06–635642у = –5–5Ответ: 6.На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. №9Решение: Значение производной функции f′(хo)= tgα = k равноугловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0, так как α– острый угол (tgα > 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tgα =ВС: АС = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АОтвет: 1,25.На рисунке изображен график функцииу = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой хо.Найдите значение производной функции f(x) в точке хо. №10Решение: Значение производной функции f′(хo)= tgα = k равноугловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k < 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,x ′(6) = 6 – 2 = 4м/с.Ответ: 4.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?№16Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t),равна значению производной функции хnput = to, искомая скорость будет равнаx ′(to) = 0,5 ∙ 2to – 2 = to – 2,Т.к. по условию, x ′(to) = 4, то to – 2 = 4, откуда to = 4 + 2 = 6м/с.Ответ: 6.На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6).Найдите сумму точек экстремума функции f(x).№17Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Ответ: 6.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функцииf(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решение: Заметим, что функция f(x)возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции.Таких точек 7:х = −3, х = −2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7.Их сумма: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Ответ: 20.Используемые материалы

ЕГЭ 2012. Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. − М.: МЦНМО, 2012. − 88 с.

http://mathege.ru/or/ege/Main− Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года