Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими — ‹, › и нестрогими — ≥, ≤.
Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.
Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.
Способ 1 — Решение неравенств с помощью построения графика функции
Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:
- На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
- На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
- Отметить точки пересечения двух графиков.
- Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.
Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:
Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки — . Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:
Способ 2 — Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности
Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:
- Сначала стоит начертить единичную окружность.
- Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
- Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
- После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
- Записать ответ в требуемой форме.
Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения
Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.
Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.
Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.
Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.
Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы
Являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.
В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.
Сложные тригонометрические неравенства
Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:
Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:
В результате должна получиться красивая кривая.
Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции
Решать неравенства с тангенсом мы будем с помощью единичной окружности.
Алгоритм решения неравенств с тангенсом:
- перерисовываем клише, изображённое на вышестоящем рисунке;
- на линии тангенса отмечаем $a$ и проводим до этой точки из начала координат прямую;
- точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет закрашенной, если неравенство нестрогое и не закрашенное, если строгое;
- область будет находится снизу от прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и снизу прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
- для нахождения точки пересечения, достаточно найти арктангенс $a$, т.е. $x_{1}={\rm arctg} a$;
- в ответ выписывается полученный промежуток, добавляя к концам $+ \pi n$.
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.
Пример 1: Решить неравенство:
${\rm tg}{x} \leq 1.$
Таким образом, решение примет вид:
$x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right], \ n \in Z.$
Важно! Точки $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$ у тангенса всегда (независимо от знака неравенства) выколоты!
Пример 2: Решить неравенство:
${\rm tg}{x} > – \sqrt{3}.$
Отмечаем на линии тангенса точку $- \sqrt{3}$ и проводим прямую из начала координат до неё. Точка пересечения этой прямой с полуокружностью будет не закрашенной, так как неравенство строгое. Область будет находится выше прямой и до окружности, так как знак неравенства $>$. найдём точку пересечения:
$x_{1} = {\rm arctg}{\left(-\sqrt{3}\right)} = -\frac{\pi}{3}.$
$t \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$
Возвращаемся к исходной переменной:
$\left(2x-\frac{\pi}{3}\right) \in \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right).$
Последнее равносильно системе неравенств
$\left\{\begin{array}{c} 2x-\frac{\pi}{3} > -\frac{\pi}{3} + \pi n, \\ 2x-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
решив которую мы получим ответ. Действительно,
$\left\{\begin{array}{c} 2x > \pi n, \\ 2x < \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\left\{\begin{array}{c} x > \frac{\pi n}{2}, \\ x < \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
И окончательно получаем:
$x \in \left(\frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\right), \ n \in Z.$
Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж,
“Вы просто не умеете их готовить”
Так как же “готовить” и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом – с помощью единичной окружности.
Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм.
Алгоритм решения неравенств с синусом:
- на оси синуса откладываем число $a$ и проводим прямую параллельно оси косинусов до пересечения с окружностью;
- точки пересечения этой прямой с окружностью будут закрашенными, если неравенство нестрогое, и не закрашенными, если неравенство строгое;
- область решения неравенства будет находится выше прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$>$”, и ниже прямой и до окружности, если неравенство содержит знак “$<$”;
- для нахождения точек пересечения, решаем тригонометрическое уравнение $\sin{x}=a$, получаем $x=(-1)^{n}\arcsin{a} + \pi n$;
- полагая $n=0$, мы находим первую точку пересечения (она находится или в первой, или в четвёртой четверти);
- для нахождения второй точки, смотрим, в каком направлении мы идём по области ко второй точке пересечения: если в положительном направлении, то следует брать $n=1$, а, если в отрицательном, то $n=-1$;
- в ответ выписывается промежуток от меньшей точки пересечения $+ 2\pi n$ до большей $+ 2\pi n$.
Ограничение алгоритма
Важно: д анный алгоритм не работает для неравенств вида $\sin{x} > 1; \ \sin{x} \geq 1, \ \sin{x} < -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Частные случаи при решении неравенства с синусом
Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм.
Частный случай 1. Решить неравенство:
$\sin{x} \leq 1.$
В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=\sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом $x$ из области определения (а область определения синуса – все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R$.
Следствие:
$\sin{x} \geq -1.$
Частный случай 2. Решить неравенство:
$\sin{x} < 1.$
Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x \in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $\sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь:
$x = (-1)^{n}\arcsin{1}+ \pi n = (-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n.$
А, значит, в ответ мы записываем: $x \in R \backslash \left\{(-1)^{n}\frac{\pi}{2} + \pi n\right\}$.
Следствие: аналогично решается и неравенство
$\sin{x} > -1.$
Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.
Пример 1: Решить неравенство:
$\sin{x} \geq \frac{1}{2}.$
- Отметим на оси синусов координату $\frac{1}{2}$.
- Проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку.
- Отметим точки пересечения. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.
- Знак неравенства $\geq$, а значит закрашиваем область выше прямой, т.е. меньший полукруг.
- Находим первую точку пересечения. Для этого неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin{x}=\frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x=(-1)^{n}\arcsin{\frac{1}{2}}+\pi n =(-1)^{n}\frac{\pi}{6} + \pi n$. Полагаем далее $n=0$ и находим первую точку пересечения: $x_{1}=\frac{\pi}{6}$.
- Находим вторую точку. Наша область идёт в положительном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $1$: $x_{2}=(-1)^{1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = \pi – \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решение примет вид:
$x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right], \ n \in Z.$
Пример 2: Решить неравенство:
$\sin{x} < -\frac{1}{2}$
Отметим на оси синусов координату $- \frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin{x}=-\frac{1}{2}$
$x=(-1)^{n}\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)}+ \pi n =(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$.
Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-\frac{\pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}\frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.
Итак, решением этого неравенства будет промежуток:
$x \in \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$
Пример 3: Решить неравенство:
$1 – 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq 0.$
Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный!
Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим:
$- 2\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \leq -1.$
Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь:
$\sin{\left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}\right)} \geq \frac{1}{2}.$
Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной:
$t=\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}.$
Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма:
$\sin{t} \geq \frac{1}{2}.$
Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ:
$t \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$
Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной.
$(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}) \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n\right].$
Представим промежуток в виде системы:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \\ \frac{x}{4}+\frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n. \end{array} \right.$
В левых частях системы стоит выражение ($\frac{x}{4}+\frac{\pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе – правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах .
Перенесём $\frac{\pi}{6}$ из левой части в правые, получим:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq \frac{\pi}{6} + 2\pi n -\frac{\pi}{6}, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n – \frac{\pi}{6}. \end{array} \right.$
Упрощая, будем иметь:
$\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{4} \geq 2\pi n, \\ \frac{x}{4} \leq \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n. \end{array} \right.$
Умножая левые и правые части на $4$, получим:
$\left\{\begin{array}{c} x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n. \end{array} \right.$
Собирая систему в промежуток, получим ответ:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac{8\pi}{3} + 8 \pi n\right], \ n \in Z.$
Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида tgx>a и tgx
Для решения нам потребуется чертеж единичной окружности и . Радиус единичной окружности равен 1, поэтому, откладывая на линии тангенсов отрезки, длина которых равна радиусу, получаем соответственно точки, в которых тангенс равен 1, 2, 3 и т.д., а вниз — -1,-2,-3 и т.д. На линии тангенсов значениям тангенсов, большим a, соответствует часть, расположенная выше точки а. Заштриховываем соответствующий луч. Теперь проводим прямую через точку О — начало отсчета- и точку а на линии тангенсов. Она пересекает окружность в точке arctg a. Соответственно, на окружности решению неравенства tgx>a соответствует дуга от точки arctg a до п/2. Чтобы учесть все решения (а их с учетом периодичности тангенса — бесконечное множество), к каждому концу интервала прибавляем пn, где n — целое число (n принадлежит Z). Для решения неравенства tgx>a вполне достаточно полуокружности от -п/2 до п/2. Но если требуется найти, к примеру, решение системы неравенств с тангенсом и синусом, то нужна вся окружность. Если неравенство нестрогое, точку с arctg a включаем в ответ (на рисунке ее заштриховываем, в ответ записываем с квадратной скобкой). Точка п/2 в ответ никогда не включается, поскольку не входит в область определения тангенса (точка выколотая, скобка круглая). Чтобы решить неравенство tgx>-a, рассуждаем так же как и для неравенства tgx>a. Поскольку arctg (-a)=-arctg a, только этим и отличается ответ.