Тема 13. Теоремы и доказательства
В этой теме Вы ознакомитесь с отличительной особенностью математики по сравнению с физикой и другими науками – признавать только те истины или законы, которые доказаны. В связи с этим будет проанализировано понятие теоремы и рассмотрены некоторые виды теорем и методы их доказательства.
09-13-03. Отличительная особенность математики
Теория
1.1. Если сравнить математику и физику, то обе эти науки используют как наблюдения, так и доказательства. Наряду с экспериментальной физикой существует теоретическая физика, в которой некоторые утверждения, как и теоремы в математике, доказываются на основе физических законов путем последовательного выведения одних суждений из других. Однако физические законы признаются истинными лишь в том случае, когда они подтверждаются большим числом экспериментов. Эти законы со временем могут уточняться.
Математика также использует наблюдения.
Пример 1. Наблюдая, что
можно сделать предположение, что сумма первых тысячи нечетных натуральных чисел равна 1000000.
Это утверждение можно проверить, непосредственными вычислениями, затратив огромное количество времени.
Можно сделать также общее предположение, что для любого натурального числа сумма начальных нечетных чисел равна . Это утверждение непосредственными вычислениями проверить нельзя, потому что множество всех натуральных чисел бесконечно. Тем не менее сделанное предположение верно, потому что его можно доказать.
Пример 2. Мы можем измерить углы многих треугольников..gif" height="20">, является верным, если мы принимаем за аксиому пятый постулат Евклида. Это было доказано в 7 классе .
Пример 3. Подставляя в многочлен
вместо натуральные числа от 1 до 10, мы получим простые числа 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Можно высказать предположение, что при любом натуральном значение квадратного трехчлена является простым числом. Проверка показала, что это действительно так при любом натуральном от 1 до 39. Однако, при предположение неверно, так как получается составное число:
Использование доказательств, а не наблюдений для установления истинности теорем является отличительной особенностью математики.
Заключение, сделанное на основе даже многочисленных наблюдений, считается математическим законом лишь тогда, когда оно доказано .
1.2. Ограничимся интуитивным понятием доказательства, как последовательного выведения одних суждений из других, не проводя точного анализа понятия выведения или вывода. Детальнее проанализируем понятие теоремы.
Теоремой принято называть утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Понятие теоремы развивалось и уточнялось вместе с понятием доказательства.
В классическом смысле под теоремой понимают высказывание, которое доказывается путем выведения одних суждений из других. При этом должны быть выбраны некоторые начальные законы или аксиомы , которые принимаются без доказательства.
Впервые система аксиом в геометрии была построена древнегреческим математиком Евклидом в его знаменитом труде Начала. Вслед за аксиомами в Началах Евклида излагаются теоремы и задачи на построение под общим названием предложения. Теоремы расположены в строгой последовательности.
Каждая теорема сначала формулируется, затем указывается, что дано и что требуется доказать. Потом излагается доказательство со всеми ссылками на ранее доказанные предложения и аксиомы. Иногда доказательство заканчивается словами что и требовалось доказать. Переведенные на все европейские языки Начала Евклида, включающие 13 книг, оставались до 18 века единственным учебным пособием , по которому изучали геометрию в школах и университетах.
1.3. Чтобы было легче выделить, что дано и что требуется доказать, теоремы формулируются в виде если..., то.... Первая часть формулировки теоремы между если и то называется условием теоремы, а вторая часть, которая записывается после то, называется заключением теоремы.
Условие теоремы содержит описание того, что дано, а заключение – что требуется доказать.
Иногда такую запись теоремы называют логической формой теоремы, а сокращенно называют формой если - то.
Пример 4. Рассмотрим следующую теорему.
Если - четное натуральное число, то является нечетным числом.
В этой теореме условие состоит в том, что берется любое четное число ..gif" width="32 height=19" height="19"> нечетно.
Часто условие и заключение записываются при помощи других слов.
Пример 5. Теорему из примера 1 можно записать в следующей форме:
Пусть - четное натуральное число. Тогда является нечетным числом.
В этом случае вместо слова если используют слово пусть, а вместо слова то пишут слово тогда.
Пример 6. Теорему из примера 1 можно записать также в следующей форме:
Из того, что четное натуральное число, следует, что число .gif" width="13" height="15"> влечет нечетность числа .
В этом случае слово если опускается, а вместо слова то используется слово влечет.
Иногда употребляют и другие виды записи теорем.
1.4. В некоторых случаях условие теоремы в ее формулировке не записывают. Это происходит тогда, когда из текста ясно, какой вид может иметь это условие.
Пример 8. Вы знаете теорему: медианы треугольника пересекаются в одной точке.
В логической форме эта теорема может быть записана так:
Если в любом треугольнике провести все медианы, то эти медианы пересекутся в одной точке.
Пример 9. Теорема о бесконечности множества простых чисел может быть записана в виде:
Если - множество всех простых чисел, то оно бесконечно.
Для установления связей между теоремами в математике используют особый язык, который частично будет рассмотрен в последующих параграфах данной главы.
Контрольные вопросы
1. Какие примеры наблюдений в математике Вам известны?
2. Какие аксиомы геометрии Вы знаете?
3. Какую запись теоремы называют логической формой теоремы?
4. Что называется условием теоремы?
5. Что называется заключением теоремы?
6. Какие формы записи теорем Вы знаете?
Задачи и упражнения
1. Какие предположения Вы можете сделать, наблюдая:
а) произведения двух соседних натуральных чисел;
б) суммы двух соседних натуральных чисел;
в) суммы трех последовательных натуральных чисел;
г) суммы трех нечетных чисел;
д) последние цифры в десятичной записи чисел .gif" width="13 height=15" height="15">;
е) число частей, на которые плоскость разбивается различными прямыми, проходящими через одну точку;
ж) число частей, на которые плоскость разбивается различными прямыми, из которых прямых попарно параллельны и пересекают .gif" width="13" height="20">.gif" height="20"> числа вида , где - натуральное число;
г) суммы двух иррациональных чисел?
3. Какое предположение Вы можете сделать, наблюдая центры окружностей, описанных около тупоугольных треугольников?
4. Запишите в логической форме теорему:
а) сумма внутренних углов выпуклого https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;
б) любые два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны;
в) равенство выполняется для любых целых чисел и ;
г) высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, делит пополам угол при вершине этого треугольника;
д) для любых неотрицательных чисел и выполняется неравенство ;
е) сумма двух противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180;
ж) число не является рациональны числом;
з) все простые числа, которые больше 10, нечетны;
и) у квадрата диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам;
к) из всех четырехугольников, вписанных в заданную окружность, квадрат имеет наибольшую площадь;
л) существует четное простое число;
м) ни одно простое число не может быть представлено в виде суммы двух различных нечетных натуральных чисел;
н) сумма кубов первых натуральных чисел является квадратом некоторого натурального числа.
5.* Каждую из теорем, приведенных в предыдущей задаче, запишите в нескольких различных видах.
Ответы и указания
Задача 1. Какие предположения вы можете сделать, наблюдая:
а) произведения двух соседних натуральных чисел;
б) суммы двух соседних натуральных чисел;
в) суммы трех последовательных натуральных чисел;
г) суммы трех нечетных чисел;
д) последние цифры в десятичной записи чисел при натуральных ;
е) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> число частей, на которые плоскость разбивается https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> прямых попарно параллельны и пересекают .gif" width="13 height=20" height="20"> число частей, на которые плоскость разбивается https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> могут получаться только четыре цифры:
0, 1, 5, 6; е)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" width="13" height="15">-угольника равна ;
б) любые два прямоугольных равнобедренных треугольника подобны;
в) равенство выполняется для любых целых чисел и ;
Доказательство математического утверждения, как правило, представляет собой цепочку правильных рассуждений, использующих аксиомы и теоремы, справедливость которых установлена ранее. Рассуждение называется правильным, если из истинности всех посылок следует истинность заключения. Пусть высказывания \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) - посылки, а высказывание \(A\) - заключение. Рассуждение проводится по схеме \(\frac{A_1,A_2,\ldots, A_n}{B}\) , т.е. из предположений \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) следует заключение \(B\) . Это рассуждение является правильным, если формула \((A_1\And A_2\And \ldots\And A_n)\Rightarrow B\) тождественно-истинная, т.е. истинна для любых истинностных значений входящих в нее высказываний \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Правильным рассуждениям соответствуют, например, схемы:
\(\frac{A\Rightarrow B,A}{B}\) - правило вывода (modus ponens );
\(\frac{A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A \Rightarrow C}\) - правило силлогизма;
\(\frac{A\Rightarrow B,\lnot B}{\lnot A}\) - правило контрапозиции.
По первой и третьей схемам построены следующие рассуждения:
– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(n\) делится на 4. Следовательно, число п четное;
– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(n\) нечетное. Следовательно, число \(n\) не делится на 4.
Оба рассуждения правильные для любых натуральных чисел \(n\) . В самом деле, даже при \(n=1\) , несмотря на кажущуюся противоречивость, имеем правильное рассуждение: "если число 1 делится на 4, то оно четное. Число 1 делится на 4. Следовательно, число 1 четное", поскольку из ложных посылок можно делать какие угодно заключения.
Рассмотрим пример рассуждения по схеме \(\frac{A\Rightarrow B,B}{A}:\)
– если натуральное число \(n\) делится на 4, то оно четное. Число \(\) четное. Следовательно, число \(n\) делится на 4.
При \(n=6\) и \(n=8\) соответственно получаем:
– если натуральное число 6 делится на 4, то оно четное. Число 6 четное. Следовательно, число 6 делится на 4;
– если натуральное число 8 делится на 4, то оно четное. Число 8 четное. Следовательно, число 8 делится на 4.
Оба рассуждения неправильные, хотя заключение второго рассуждения истинно (число 8 действительно делится на 4), т.е. схема \(\frac{A\Rightarrow B,B}{A}\) не соответствует правильным рассуждениям.
Часто вместо доказательства теоремы вида \(A\Rightarrow B\) доказывают истинность некоторого другого утверждения, эквивалентного исходному. Такие формы доказательства называют косвенными. Одним из них является способ доказательства от противного. Чтобы доказать истинность высказывания \(A\Rightarrow B\) предполагаем, что это утверждение ложно. Исходя из такого предположения, приходим к противоречию, а именно доказываем, что некоторое утверждение выполняется и не выполняется одновременно. Отсюда делается вывод о том, что предположение неверно, а исходное высказывание истинно.
Пользуясь описанным способом, докажем утверждение:
если \(n\) нечетное число, то и число \(n^2\) - нечетное.
Предположим противное, т.е. пусть имеется такое нечетное число \(n\) , что число \(n^2\) - четное. Тогда, с одной стороны, разность \(n^2-n\) будет нечетным числом, а с другой стороны, число \(n^2-n=n(n-1)\) заведомо четное, как произведение двух последовательных целых чисел. Получено противоречие, а именно: число \(n^2-n\) является четным и нечетным одновременно. Это доказывает, что сделанное предположение неверно и, следовательно, исходное утверждение справедливо.
Рассмотренная схема доказательства от противного не единственная. Применяются также другие схемы доказательства от противного:
\(\frac{A,\lnot B}{\lnot A}\) или \(\frac{A,\lnot B}{B}\) .
Еще одна схема косвенного доказательства (по закону контрапозиции) основана на эквивалентности двух утверждений \(A\Rightarrow B\) и \(B\Rightarrow \lnot A\) . В самом деле, эти утверждения либо оба истинны, либо оба ложны. Например, высказывания "если идет дождь, то на небе есть тучи" и "если на небе нет туч, то не идет дождь" оба истинны, а высказывания "если на небе есть тучи, то идет дождь" и "если не идет дождь, то на небе нет туч" оба ложны.
Во многих задачах нужно доказать справедливость некоторого утверждения (формулы) для любого натурального числа \(n\) . Непосредственная проверка таких утверждений для каждого значения п невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Для доказательства таких утверждений (формул) применяется метод математической индукции , суть которого заключается в следующем. Пусть требуется доказать истинность высказывания \(A(n)\) для всех \(n\in \mathbb{N}\) . Для этого достаточно доказать два утверждения:
1) высказывание \(A(n)\) истинно для \(n=1\) . Эта часть доказательства называется базой индукции;
2) для любого натурального \(k\) из того, что высказывание истинно для \(n=k\) (индукционное предположение) следует, что оно истинно и для следующего числа \(n=k+1\) , т.е. \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Эта часть доказательства называется индукционным шагом.
Если пункты 1, 2 доказаны, можно сделать вывод об истинности высказывания \(A(n)\) для любого натурального \(n\) .
В самом деле, если высказывание \(A(1)\) истинно (см. пункт 1), то высказывание \(A(2)\) тоже истинно (см. пункт 2 при \(n=1\) ). Поскольку \(A(2)\) истинно, то \(A(3)\) тоже истинно (см. пункт 2 при \(n=2\) ) и т.д. Таким образом можно дойти до любого натурального числа \(n\) , убеждаясь в справедливости \(A(n)\) .
Замечание В.6. В ряде случаев бывает необходимо доказать справедливость некоторого утверждения \(A(n)\) не для всех натуральных \(n\) , а лишь для \(n\geqslant p\) , т.е. начиная с некоторого фиксированного числа \(p\) . Тогда метод математической индукции модифицируется следующим образом:
1) база индукции: доказать истинность \(A(p)\) ;
2) индукционный шаг: доказать \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) для любого фиксированного \(k\geqslant p\) .
Из пунктов 1, 2 следует, что утверждение \(A(n)\) верно для всех натуральных \(n\geqslant p\) .
Пример В.16. Доказать справедливость равенства \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) для любого натурального числа \(n\) .
Решение. Обозначим сумму первых \(n\) нечетных чисел через \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Требуется доказать утверждение \(A(n):\) "равенство \(S_n=n^2\) верно для любого \(n\in \mathbb{N}\) ". Доказательство проведем по индукции.
1) Поскольку \(S_1=1=1^2\) , то при \(n=1\) равенство \(S_n=n^2\) верное, т.е. высказывание \(A(1)\) истинно. База индукции доказана.
2) Пусть \(k\) - любое натуральное число. Выполним индукционный шаг \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Предположив, что утверждение \(A(n)\) истинно при \(n=k\) , т.е. \(S_k=k^2\) , докажем, что утверждение \(A(n)\) истинно для следующего натурального числа \(n=k+1\) , то есть \(S_{k+1}=(k+1)^2\) . Действительно,
\(S_{k+1}= \underbrace{1+3+5+\ldots+(2k-1)}_{S_k}+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k+1)^2.\)
Поэтому \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) и на основании метода математической индукции заключаем, что высказывание \(A(n)\) истинно для любого натурального \(n\) , то есть формула \(S_n=n^2\) верна для любого \(n\in \mathbb{N}\) .
Пример В.17. Перестановкой из \(n\) чисел называется набор первых \(n\) натуральных чисел, взятых в некотором порядке. Доказать, что количество различных перестановок равно \(n!\) . Выражение \(n!\) (читается " \(n\) факториал") равно \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\) . Две перестановки \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) и \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) из \(n\) чисел считаются равными, если \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\) , а в случае нарушения хотя бы одного из равенств перестановки считаются различными.
Решение. Проведем доказательство методом математической индукции.
1) Для \(n=1\) имеется всего одна перестановка \((1)\) , т.е. \(1!=1\) и утверждение верно.
2) Предположим, что для любого \(k\) количество перестановок равно \(k!\) . Докажем, что количество перестановок из \((k+1)\) чисел равно \((k+1)!\) . В самом деле, зафиксируем число \((k+1)\) на любом месте в перестановке из \((k+1)\) чисел, а первые \(k\) натуральных чисел разместим на оставшихся \(k\) местах. Количество таких перестановок равно количеству перестановок из \(k\) чисел, т.е. \(k!\) по индуктивному предположению. Так как число \((k+1)\) можно было поставить на любое из (к +1) мест в перестановке, заключаем, что количество различных перестановок из \((k+1)\) чисел равно \((k+1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . Таким образом, предположив, что утверждение верно для \(n=k\) , удалось доказать, что оно верно для \(n=k+1\) .
Из пунктов 1 и 2 следует, что утверждение верно для любого натурального числа \(n\) .
Замечание В.7. Формальные методы вывода теорем, использующие многочисленные схемы правильных рассуждений, изучаются в математической логике. Как правило, эти методы порождают лишь новые формулировки теорем, отражающих старое содержание. Поэтому для развития математической теории они малоэффективны. Однако, законы математической логики и схемы правильных рассуждений, должны обязательно соблюдаться при изучении любой математической проблемы.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Как доказывать теоремы?
Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.
В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.
Доказательство теорем
Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.
Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.
Как доказывать теоремы по геометрии без труда
Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».
Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе .
Алгебре периодически приходится доказывать теоремы. В доказанная теорема поможет вам при решении . Поэтому крайне важно не механически зазубрить доказательство, а вникнуть в суть теоремы, чтобы потом руководствоваться ею на практике.
Сначала изобразите четкий и аккуратный чертеж к теореме. Отметьте на нем латинскими буквами то, что вам изначально известно. Запишите все известные величины в графу «Дано». Далее в графе «Доказать» сформулируйте то, что доказать. Теперь можно приступать к доказательству. Оно цепочку логических мыслей, в результате чего показывается истинность -либо утверждения. При доказательстве теоремы можно (а порой – даже нужно) пользоваться различными положениями, аксиомами, от противного и даже другими, ранее доказанными, теоремами.
Таким образом, доказательство – это последовательность действий, в результате которого вы получите неоспоримое . Наибольшую трудность при доказательстве теоремы представляет нахождение именно той последовательности логических рассуждений, которые приведут к поиску того, что требовалось доказать.
Разбейте теорему на части и, доказывая, по отдельности, в итоге вы придете к искомому результату. Полезно овладеть навыком «доказательства от противного», в ряде случаев именно таким способом проще всего доказать теорему. Т.е. начните доказательство со слов «предположим обратное», и постепенно докажите, этого не может быть. Закончите доказательство словами «следовательно, первоначальное утверждение верно. Теорема доказана».
Франсуа Виет - известный французский математик. Теорема Виета позволяет решать квадратные уравнения по упрощенной схеме, которая в результате экономит время, затраченное на расчет. Но чтобы лучше понимать суть теоремы, следует проникнуть в суть формулировки и доказать ее.
Теорема Виета
Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.
Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.
Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.
Доказательство теоремы
Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся , а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.
Вторая формулировка и доказательство
Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.
Не только каждый школьник, но и каждый уважающий себя образованный человек должен знать, что такое теорема и доказательство теорем. Может, такие понятия и не встретятся в реальной жизни, но структурировать многие знания, а также делать умозаключения они точно помогут. Именно поэтому мы и рассмотрим в этой статье способы доказательства теорем, а также ознакомимся со столь знаменитой теоремой Пифагора.
Что же такое теорема
Если рассматривать школьный курс математики, то очень часто в нем встречаются такие научные термины, как теорема, аксиома, определение и доказательство. Для того чтобы ориентироваться в программе, нужно ознакомиться с каждым из этих определений. Сейчас же мы рассмотрим, что такое теорема и доказательство теорем.
Итак, теорема - это некое утверждение, которое требует доказательства. Рассматривать данное понятие нужно параллельно с аксиомой, так как последняя доказательства не требует. Ее определение уже является истинным, поэтому воспринимается как должное.
Сфера применения теорем
Ошибочно думать, что теоремы применяются только в математике. На самом деле это далеко не так. Например, существует просто невероятное количество теорем в физике, позволяющих подробно и со всех сторон рассмотреть некоторые явления и понятия. Сюда можно отнести теоремы Ампера, Штейнера и многие другие. Доказательства таких теорем позволяют неплохо разобраться в моментах инерции, статике, динамике, и во многих других понятиях физики.
Использование теорем в математике
Тяжело представить себе такую науку, как математика, без теорем и доказательств. Например, доказательства теорем треугольника позволяют подробно изучить все свойства фигуры. Ведь очень важно разобраться в свойствах равнобедренного треугольника и во многих других вещах.
Доказательство теоремы площади позволяет понять, как проще всего вычислять площадь фигуры, опираясь на некоторые данные. Ведь, как известно, существует большое количество формул, описывающих, как можно найти площадь треугольника. Но перед тем как их использовать, очень важно доказать, что это возможно и рационально в конкретном случае.
Как доказывать теоремы
Каждый школьник должен знать, что такое теорема, и доказательство теорем. На самом деле доказать какое-либо утверждение не так-то просто. Для этого нужно оперировать многими данными и уметь делать логические выводы. Конечно, если вы неплохо владеете информацией по определенной научной дисциплине, то доказать теорему для вас не составит особого труда. Главное - выполнять процедуру доказательства в определенной логической последовательности.
Для того чтобы научиться доказывать теоремы по таким научным дисциплинам, как геометрия и алгебра, нужно иметь неплохой багаж знаний, а также знать сам алгоритм доказательства. Если вы освоите такую процедуру, то решать математические задачи впоследствии для вас не составит особого труда.
Что нужно знать о доказательстве теорем
Что такое теорема и доказательства теорем? Это вопрос, который волнует многих людей в современном обществе. Очень важно научиться доказывать математические теоремы, это поможет вам в будущем строить логические цепочки и приходить к определенному выводу.
Итак, для того чтобы доказывать теорему правильно, очень важно сделать правильный рисунок. На нем отобразите все данные, которые были указаны в условии. Также очень важно записать всю информацию, которая предоставлялась в задаче. Это поможет вам правильно проанализировать задание и понять, какие именно величины в нем даны. И только после проведения таких процедур можно приступать к самому доказательству. Для этого вам нужно логически выстроить цепочку мыслей, используя другие теоремы, аксиомы или определения. Итогом доказательства должен быть результат, истинность которого не подлежит сомнению.
Основные способы доказательства теорем
В школьном курсе математики существует два способа, как доказать теорему. Чаще всего в задачах используют прямой метод, а также метод доказательства от противного. В первом случае просто анализируют имеющиеся данные и, опираясь на них, делают соответственные выводы. Также очень часто используется и метод от противного. В этом случае мы предполагаем противоположное утверждение и доказываем, что оно неверно. На основе этого мы получаем противоположный результат и говорим о том, что наше суждение было неверным, а значит, указанная в условии информация является правильной.
На самом деле многие математические задачи могут иметь несколько способов решения. Например, теорема Ферма доказательств имеет несколько. Конечно, некоторые рассматриваются только одним способом, но, например, в теореме Пифагора можно рассмотреть сразу несколько из них.
Что представляет собой теорема Пифагора
Конечно, каждый школьник знает о том, что теорема Пифагора касается именно прямоугольного треугольника. И звучит она так: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Несмотря на название данной теоремы, открыта она была не самим Пифагором, а еще задолго до него. Существует несколько способов доказательства данного утверждения, и мы рассмотрим некоторые из них.
Согласно научным данным, в самом начале рассматривался равносторонний прямоугольный треугольник. Затем строились квадраты на всех его сторонах. Квадрат, построенный на гипотенузе, будет состоять из четырех равных между собой треугольников. В то время как фигуры, построенные на катетах, будут состоять только из двух таких же треугольников. Такое доказательство теоремы Пифагора является самым простым.
Рассмотрим еще одно доказательство данной теоремы. В нем нужно использовать знания не только из геометрии, но также и из алгебры. Для того чтобы доказать данную теорему этим способом, нам нужно построить четыре аналогичных прямоугольных треугольника, и подписать их стороны как а, в и с.
Построить эти треугольники нужно таким образом, чтобы в результате у нас получилось два квадрата. Внешний из них будет иметь стороны (а+в), а вот внутренний - с. Для того чтобы найти площадь внутреннего квадрата, нам нужно найти произведение с*с. А вот для того чтобы найти площадь большого квадрата, нужно сложить площади маленьких квадратов и добавить площади полученных прямоугольных треугольников. Теперь, произведя некоторые алгебраические операции, можно получить такую формулу:
а 2 +в 2 =с 2
На самом деле существует огромное количество методов доказательства теорем. Перпендикуляр, треугольник, квадрат или любые другие фигуры и их свойства можно рассмотреть с помощью применения различных теорем и доказательств. Теорема Пифагора только является тому подтверждением.
Вместо заключения
Очень важно уметь формулировать теоремы, а также правильно их доказывать. Конечно, такая процедура является достаточно сложной, так как для ее осуществления необходимо не только уметь оперировать большим количеством информации, но также и выстраивать логические цепочки. Математика - это очень интересная наука, которая не имеет ни конца, ни края.
Начните ее изучать, и вы не только повысите уровень своего интеллекта, но и получите огромное количество интересной информации. Займитесь своим образованием уже сегодня. Поняв основные принципы доказательств теорем, вы сможете проводить свое время с большой пользой.
